Un calcul de trajectoire - epiphys

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     Un calcul de trajectoire

     Cet article appartient au concept : Mouvement d`un milieu continu

Description :

Un exemple de détermination de trajectoire connaissant le champ (eulérien) des vitesses.

Intention pédagogique :

Il s’agit de comparer sur un exemple simple deux rédactions d’une question classique : Déterminer la trajectoire d’une particule connaissant le champ (eulérien) des vitesses.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

20 min

Auteur(s) : Pierre-Emmanuel BOURNET Pierre AIME .


méthode Le problème du calcul d’une trajectoire à partir du champ eulérien des vitesses est exactement l’inverse de celui résolu dans l’article Un calcul de champ de vitesses.

Supposons donné un champ de vitesses eulériennes

v(t,(x,y,z))= \{v_1 (t,(x,y,z)),v_2 (t,(x,y,z)),v_3 (t,(x,y,z)) \}

Déterminer la trajectoire m(t)=(x(t),y(t),z(t)) d’une particule située en M=(X,Y,Z) à l’instant t=t_0, dont v est le champ eulérien des vitesses, c’est résoudre le problème de Cauchy

 \frac {d}{dt} m(t)=v(t,m(t) , \: m(0)=M

énoncé

On considère le champ de vitesses eulériennes

v(t,(x,y,z))= \{v_1 (x,y,z),v_2 (x,y,z),v_3 (x,y,z) \}

dont les composantes sont définies par :

v_1 =2x^2y; \quad v_2 =-2xy^2; \quad v_3=0

Déterminer la trajectoire x(t),y(t),z(t) d’une particule située en x=y=1 et z=0 à l’instant t=0.