Méthodes de calcul exact des intégrales de fonctions continues - epiphys

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     Méthodes de calcul exact des intégrales de fonctions continues

     Cet article appartient au concept : Intégrale de Riemann dans R

Description :

Primitives, formule de Taylor, intégration par parties, changement de variables.

Intention pédagogique :

Les méthodes sont présentées avec démonstration. Ces démonstrations mettent en évidence l’enchainement des idées.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Pour les fonctions continues sur un segment, il existe des méthodes classiques pour obtenir une intégrale.

On reste ici dans le domaine des fonctions continues donc réglées Intégrale des fonctions réglées.


situation-problématique Pour les fonctions continues d’une variable réelle, un phénomène remarquable est la relation entre intégration et dérivation.
discussion
définition Définition

Soit I un intervalle de \mathbb{R}, f et F deux fonctions de I dans \mathbb{R}.

F est une primitive de f sur I si F est dérivable et  F^{\prime }=f.

La différence de deux primitives d’une fonction f est constante. Inversement, s’il existe une primitive F de f, toute autre primitive G est de la forme G=F+c, où c est un réel confondu avec la fonction constante correspondante sur I.

Si I est un segment, \left[ a,b\right] , rappelons que F^{\prime }(a) (resp. F^{\prime }(b)) est la dérivée à droite de F au point a (resp. à gauche de F au point b).

propriété Proposition 1

Si I=\left[ a,b\right] est un segment, pour toute fonction continue f:I\rightarrow \mathbb{R}, et pour tout point c\in \left[ a,b\right] , la fonction F:I\rightarrow \mathbb{R}, définie par F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt est une primitive de f.

Démonstration

Prenons x\in I. Si \delta x est un réel non nul tel que x+\delta x\in I.

Si \delta x>0,


\left\vert \frac{F\left( x+\delta x\right) -F(x)}{\delta x}-f(x)\right\vert =\frac{1}{\delta x}\left\vert \int_{x}^{x+\delta x}\left( f(t)-f(x)\right) dt\right\vert \leq \frac{1}{\delta x}\int_{x}^{x+\delta x}\left\vert f(t)-f(x)\right\vert dt\text{.}

Si \delta x<0,

\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{F\left( x+\delta x\right) -F(x)}{\delta x}-f(x)\right\vert&=&\frac{1}{\left\vert \delta x\right\vert }\left\vert \int_{x}^{x+\delta x}\left(f(t)-f(x)\right) dt\right\vert \\
&=&\frac{1}{\left\vert \delta x\right\vert }\left\vert \int_{x+\delta x}^{x}\left(f(t)-f(x)\right) dt\right\vert \\
&\leq &\frac{1}{\left\vert \delta x\right\vert }\int_{x+\delta x}^{x}\left\vert \left(f(t)-f(x)\right) \right\vert dt \\
&=&\frac{1}{\left\vert \delta x\right\vert }\int_{x+\delta x}^{x}\left\vert \left( f(t)-f(x)\right) \right\vert dt\text{.}
\end{eqnarray*}

La continuité de f au point x donne aussitôt la conclusion.

Remarque

\frac{d}{dx}\left( \int_{x}^{c}f(t)dt\right) =\frac{d}{dx}\left(-\int_{c}^{x}f(t)dt\right) =-f(x).

propriété Corollaire 1 (Intégration par parties)

Si f,g sont deux fonctions réelles C^{1} sur un segment \left[ a,b\right] , alors


\int_{a}^{b}f^{\prime }\left( t\right) \,g(t)\,dt=\left[ f\left( t\right) \,g(t)\right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}f\left( t\right) \,g^{\prime }(t)\,dt

propriété Corollaire 2 (Formule de Taylor avec reste intégral)

Si f est une fonction réelle C^{\infty } sur un segment I, alors pour tout entier n\geq 1, et pour deux points a, x de I,


f(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left( x-a\right) ^{k}}{k!}f^{(k)}(a)+\int_{a}^{x}\frac{\left( x-t\right) ^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt

Démonstration (par récurrence sur n).

La démonstration est rédigée pour a<x, le cas x<a s’en déduit.

La formule peut être prolongée à n=0, en écrivant f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f^{\prime }(t)dt, ce qui permet une récurrence à partir de n=0.

Supposons la propriété vérifiée jusqu’au rang \left(n-1\right) pour un entier n\geq 1, en particulier si n>1,


f(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\left( x-a\right) ^{k}}{k!}
f^{(k)}(a)+\int_{a}^{x}\frac{\left( x-t\right) ^{n-1}}{\left( n-1\right) !}
f^{(n)}(t)\,dt\text{.}

Alors, une intégration par parties avec les fonctions


u^{\prime }(t)=\frac{\left( x-t\right) ^{n-1}}{\left( n-1\right) !}\text{ et }v(t)=f^{(n)}(t)

donne


u(t)=-\frac{\left( x-t\right) ^{n}}{n!}\text{ et }v^{\prime }(t)=f^{(n+1)}(t)

et


\int_{a}^{x}\frac{\left( x-t\right) ^{n-1}}{\left( n-1\right) !}f^{(n)}(t)\,dt=\frac{\left( x-a\right) ^{n}}{n!}f^{(k)}(a)+\int_{a}^{x}\frac{\left( x-t\right) ^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\text{.}

On adaptera facilement le raisonnement si l’on part de n=1.

propriété Corollaire 3

S’il existe un réel M>0 tel que \left\vert f^{(n)}(t)\right\vert \leq M pour tout t\in \left[ a,b\right] et tout n\in \mathbb{N}^{\ast }, alors la suite des polynômes de Taylor de f au point a, définie par

P_{n}(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left( x-a\right) ^{k}}{k!} f^{(k)} (a)

converge uniformément vers f sur [a,b].

propriété Proposition 2 (Changement de variables)

Soit \varphi une fonction réelle C^1 sur un segment [a,b], \varphi ([a,b]) est donc un intervalle, mais ses extrémités ne sont pas nécessairement \varphi (a) et \varphi (b)

Si f est une fonction réelle continue sur l’intervalle \varphi ([a,b]), alors

 \int_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(x) dx =  \int_{a}^{b} f(\varphi (t)) \varphi ' (t) dt.

erreur fréquenteOn notera que la "nouvelle" variable t est une pré-image par \varphi de l’ancienne x.

Démonstration

Posons G(t)=\int_{\varphi (a)}^{\varphi (t)} f(x) dx et F(u)=\int_{\varphi (a)}^{u} f(x) dx, de sorte que G=F \circ \varphi.
Il en résulte que G'(t)=F'(\varphi (t)) \varphi ' (t)=f(\varphi (t)) \varphi ' (t).
Finalement,

  \int_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(x) dx = G(b)-G(a)

=\int_{a}^{b}G'(t) dt

= \int_{a}^{b} F'(\varphi(t)) \varphi '(t) dt

=\int_{a}^{b} f(\varphi (t)) \varphi ' (t) dt.