Intégration des fonctions réglées - epiphys

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     Intégration des fonctions réglées

     Cet article appartient au concept : Intégrale de Riemann dans R

Description :

Définition des fonctions réglées, intégration, propriétés de l’intégrale.

Intention pédagogique :

Donner un cadre accessible pour utiliser l’intégrale de Riemann, contenant les fonctions continues par morceaux, et moins abstrait que le cas général des fonctions Riemann-intégrables.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction L’article consacré à l’intégrale des fonctions en escalier est supposé connu Intégrale des fonction en escalier.

situation-problématique On a vu que la propriété


\lim_{n}\left( \int_I  f_{n}\right) \right) = \int_I \left( \lim f_{n}\right) 
\text{ }

était vérifiée dans l’espace \mathcal{E}\left( I\right) des fonctions en escalier sur un segment I, pour les fonctions en escalier limites uniformes de fonctions en escalier.

Cela ne présenterait pas d’intérêt particulier si l’on en restait à l’espace \mathcal{E}\left( I\right), mais si l’on envisage l’ensemble des limites uniformes de fonctions en escalier, qui est bien plus vaste, cela suggère un procédé pour prolonger la mesure.

discussion Il s’agit donc de caractériser cet ensemble de fonctions, puis de prolonger la mesure et ses propriétés.
propriété Proposition 1

Pour une application f:I\rightarrow \mathbb{R}, les propriétés suivantes sont équivalentes.

1) \forall \varepsilon >0,\;\;\exists \varphi \in \mathcal{E}\left(
I\right) ,\;\;\left\| f-\varphi \right\| _{\infty }\leq \varepsilon .

2) Il existe une suite \left( \varphi _{n}\right) de fonctions en escalier sur I qui converge uniformément vers f.

définition Définition 1

Dans ces conditions, on dit que f est une fonction réglée sur I.

Notons \mathcal{R}\left( I\right) l’ensemble des fonctions réglées sur I.

Le prolongement de \int_{I} est encore noté \int_{I}, et défini par

 \boxed { 
\int_{I}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{I}\varphi _{n}  }

\left( \varphi _{n}\right) est une suite de fonctions en escalier sur I, qui converge uniformément vers f

définition Définition 2

Le réel \int_{I}f est appelé intégrale de la fonction réglée f.

propriété Proposition 2

La définition a un sens car la limite \int_{I}\varphi _{n} ne dépend pas de choix de la suite d’approximation \left( \varphi _{n}\right) .

Démonstration

Si \left( \varphi _{n}\right) et \left( \psi _{n}\right) sont deux suites de fonctions en escalier sur I, qui convergent uniformément vers f, démontrons que les limites \lim_{n\rightarrow \infty
}\int_{I}\varphi _{n} et \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{I}\psi _{n} existent et sont égales.

f étant donnée, on pose \varepsilon (n)=\frac{1}{n\,(b-a)}. Il en résulte une suite \left( \varphi _{n}\right) de fonctions en escalier sur P telles que \left\| f-\varphi _{n}\right\| _{\infty
}\leq \varepsilon (n).

Notons \theta _{n} la fonction constante sur I, égale à 
\varepsilon (n). Par suite, \left\| \varphi _{p}-\varphi
_{q}\right\| _{\infty }\leq \theta _{p}+\theta _{q}.

Pour tout \varepsilon >0, et p,q entiers tels que \frac{1}{p}<\frac{
\varepsilon }{2} et \frac{1}{q}<\frac{\varepsilon }{2}, on a donc


\begin{eqnarray*}
\left\| \int_{I}\varphi _{p}-\int_{I}\varphi _{q}\right\|
&=&\left\| \int_{I}\left( \varphi _{p}-\varphi _{q}\right) \right\| \\
&\leq &\int_{I}\left\| \varphi _{p}-\varphi _{q}\right\| _{\infty } \\
&\leq &\int_{I}\theta _{p}+\theta _{q} \\
&=&\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq \varepsilon \text{.}
\end{eqnarray*}

La suite \left( \int_{I}\varphi _{n}\right) est de Cauchy, d’où l’existence de la limite.

L’unicité de cette limite résulte des majorations suivantes.


\left\| \varphi _{n}-\psi _{n}\right\| _{\infty }\leq \left\|
\varphi _{n}-f\right\| _{\infty }+\left\| f-\psi _{n}\right\|
_{\infty }\leq 2\theta _{n}


\begin{eqnarray*}
\left\| \int_{I}\varphi _{n}-\int_{I}\psi _{n}\right\| &=&\left\|
\int_{I}\left( \varphi _{n}-\psi _{n}\right) \right\| \\
&\leq &\int_{I}\left\| \varphi _{n}-\psi _{n}\right\| _{\infty } \\
&\leq &2\int_{I}\theta _{n}=\frac{2}{n}\text{. }
\end{eqnarray*}

Il reste à préciser les propriétés du prolongement que l’on vient de définir.

propriété Proposition 3

- \mathcal{R}\left( I\right) est un espace vectoriel (dont \mathcal{E}\left( I\right) est un sous-espace).
- Sur \mathcal{R}\left( I\right) , l’application f\longmapsto \int_{I}f est une forme linéaire positive (ou croissante), et donc \left\|
\int_{I}\varphi \right\| \leq \int_{I}\left\| \varphi \right\| .
En particulier, \left\| \int_{I}\varphi \right\| \leq \left(
b-a\right) \left\| \varphi \right\| _{\infty }, ce qui assure la continuité de cette forme linéaire sur 
\mathcal{R}\left( I\right).
- \mathcal{R}\left( I\right) est le complété de \mathcal{E}\left(
I\right) dans l’espace de Banach \left( \mathcal{B}\left( I\right)
,\left\| {}\right\| _{\infty }\right) .

situation-problématique
Pour la pratique, il est évidemment nécessaire de savoir si une fonction donnée est réglée. Les deux propriétés qui suivent montrent que 
\mathcal{R}\left( I\right) contient effectivement les cas usuels.
Rappelons que I est un segment (en aucun cas I peut être non borné ou non fermé).
discussion
propriété Proposition 4

Toute fonction continue f\in C^{0}\left( I,\mathbb{R}\right), ou continue par morceaux, est réglée.

Le principe de la démonstration consiste à approcher la fonction par des fonctions en escalier dont la dimension des cellules tend vers 0.
Ce principe est illustré par les figures suivantes, relatives à la fonction \sin sur [0,\ pi], en prenant des subdivisions régulières à 5 puis 20 intervalles.

propriété Proposition 5

Une fonction réglée admet un ensemble au plus dénombrable de points de discontinuité.

propriété Proposition 6

Une application f:I=\left[ a,b\right]\rightarrow 
\mathbb{R} est réglée si et seulement si elle admet en tout point de \left[ a,b\right[ une limite à droite, et en tout point de \left]
a,b\right] une limite à gauche.

Corollaire

Toute fonction réelle monotone sur un segment est réglée.