Réduction des endomorphismes antisymétriques (Th. de E. Cartan) - epiphys

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     Réduction des endomorphismes antisymétriques (Th. de E. Cartan)

     Cet article appartient au concept : Formes de degré 2

Description :

Théorème de Cartan de réduction des endomorphismes antisymétriques de Rn.

Intention pédagogique :
Niveau :
L3
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


énoncéENONCE
E est un espace vectoriel euclidien (de dimension n>0\right) , le produit scalaire est noté  \left  \langle  u,v \right  \rangle  , L est un endomorphisme antisymétrique non nul de E.
  1. Démontrer que les sous-espaces vectoriels \textrm{Im}L et \ker L sont orthogonaux, en déduire que E=\textrm{Im}L+\ker L (on ne cherchera pas à décomposer un vecteur de E) ainsi que la relation \ker
L=\ker \left( L\circ L\right) .
  2. Démontrer que L \circ  L est un endomorphisme symétrique [1] de E et que toute valeur propre de L \circ  L est négative ou nulle.
  3. Démontrer que L \circ  L admet au moins une valeur propre non nulle  \lambda  .
  4. On notera u un vecteur propre de L \circ  L associé à  \lambda  , et F le sous espace engendré par  \left ( u,L\left( u\right)  \right ) . Vérifier que  \left ( u,L\left( u\right)  \right ) est libre.
  5. Soit L_{1} la restriction de L à F^{ \perp  }. L_{1} est un endomorphisme antisymétrique de l’espace F^{ \perp  } (muni du produit scalaire induit).
    Pourquoi ?
    Démontrer que {\textrm{Im} L=F+\textrm{Im}L_{1}, puis \textrm{Im}L=F \oplus  \textrm{Im}L_{1}.
  6. En distinguant les deux cas L_{1}=0 ou L_{1} \neq  0, en déduire qu’il existe une base orthogonale de E dans laquelle la matrice de L est de la forme

    \left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & -a_{1} &  &  &  \\ 
a_{1} & 0 &  & 0 &  \\ 
&  & \ddots &  &  \\ 
& 0 &  & 0 & -a_{r} \\ 
&  &  & a_{r} & 0
\end{array}
\right)

\textrm{ou} \left( 
\begin{array}{cccccccc}
0 & -a_{1} &  &  &  &  &  &  \\ 
a_{1} & 0 &  &  &  &  & 0 &  \\ 
&  & \ddots &  &  &  &  &  \\ 
&  &  & 0 & -a_{r} &  &  &  \\ 
&  &  & a_{r} & 0 &  &  &  \\ 
&  &  &  &  & 0 &  &  \\ 
& 0 &  &  &  &  & \ddots &  \\ 
&  &  &  &  &  &  & 0
\end{array}
\right)

Commentaire _

commentaire La géométrie d’un espace vectoriel de dimension finie, muni d’une forme bilinéaire symétrique définie positive est la géométrie euclidienne. De même, la géométrie d’un espace vectoriel de dimension finie paire 2n , muni d’une forme bilinéaire antisymétrique pour laquelle r=n la propriété précédente, est appelée géométrie symplectique.
Celle-ci n’est pas enseignée en général au niveau L2/L3, cependant, ses applications sont devenues importantes. Citons la physique quantique, l’optique et la mécanique classique, par exemple pour rechercher certains mouvements particuliers d’un assemblage de solides, tels que ceux pour lesquels la rotation instantanée est prescrite.
Mais la géométrie symplectique présente une difficulté incontournable, contrairement à la géométrie euclidienne, un sous-espace vectoriel n’hérite pas nécessairement de la structure comme on l’a vu à la question 1. Il faut utiliser une structure quotient pour la retrouver. Ceci est à l’origine de deux résultats publiés respectivement en 1974 et 1986, qui furent suivis de nombreuses publications (une bibliographie un peu sérieuse sur la "réduction en mécanique" comporte plusieurs centaines de titres, comprenant livres, articles et thèses).
Ces développements, qui constituent une bonne part de la "Mécanique géométrique" sont essentiellement dûs à l’école de J. Marsden à Caltech (Californie).