Théorème des accroissements finis - epiphys

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     Théorème des accroissements finis

     Cet article appartient au concept : Différentielle

Description :

Un énoncé et une démonstration du théorème des accroissements finis qui étend à n variables le théorème classique du même nom applicable aux fonctions d’une variable Accroissements finis.

Intention pédagogique :

Mettre en oeuvre la composition des différentielles et des propriétés topologiques élémentaires pour démontrer le théorème des accroissements finis.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Le théorème des accroissements finis est une propriété très utilisée en analyse à chaque fois que l’on a besoin d’obtenir une majoration de la variation d’une fonction entre deux points, connaissant un majorant de la norme de la différentielle entre ces deux points. Il est utilisé pour la démonstration du théorème d’inversion locale Rang et différentiabilité.

  • Dans l’énoncé qui suit, a et b sont deux points de{{R}}^n,
    question remue-méninges Rappeler la définition du segment [a,b].
  • D’autre part, les espaces vectoriels {{R}}^n et {{R}}^p étant chacun muni d’une norme quelconque, on note N la norme d’opérateur subordonnée, sur l’espace vectoriel des applications linéaires de {{R}}^n et {{R}}^p. Rappelons que, par définition, N(L) est la borne supérieure des normes des vecteurs L(x) lorsque x décrit la sphère unité de {{R}}^n.
propriété Proposition (Théorème des accroissemenst finis).

f est une application définie sur un ouvert U de {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^p, continue sur U, a et b sont deux points de U tels que le segment [a,b] soit inclus dans U.

On suppose en outre que f est différentiable en tout point x \in ]a,b[, et qu’il existe une constante K  \ge 0 telle que N(d_x f) \le K en tout point x \in ]a,b[.

Avec ces données, on déduit la relation

 \| f(b)-f(a) \| \le K\| b-a \|

Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de supposer que f est différentiable en a et b, bien que la conclusion porte sur ces points.

Ce raffinement peut paraitre une sophistication inutile, il n’en est rien, ce théorème est utilisé pour prolonger des applications différentiables.

Démonstration : voir le fichier demo14.pdf