Extension aux champs vectoriels - epiphys

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     Extension aux champs vectoriels

     Cet article appartient au concept : Différentielle

Description :

Différentiabilité et champs C1, dans le cas des champs vectoriels. Différentielle et jacobienne.

Intention pédagogique :

Etendre l’outil fourni dans les articles Différentiabilité et Champs C1 aux champs vectoriels.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Jusqu’ici, on n’a envisagé que des champs scalaires. Que signifie la différentiabilité pour des champs de vecteurs, et plus généralement des applications de {{R}}^n dans {{R}}^p ?

situation-problématique Rappelons le vocabulaire usuel pour désigner f dans quelques cas particuliers, en notant n la dimension de l’espace de départ, p celle de l’espace d’arrivée.
- n=1 Arc paramétré.
- n=2, p=3 Nappe paramétrée.
- p=1 Champ scalaire.
- p=n Champ de vecteurs ou transformation.

Dans le dernier cas, on dit plutôt champ de vecteurs si l’espace {{R}}^n de départ est muni de sa structure affine, et l’espace {{R}}^p d’arrivée est muni de sa structure vectorielle.

Enfin, nous utiliserons la dénomination de "champ vectoriel" pour le cas général n,p quelconques supérieurs à 1.

Sachant qu’une application f de {{R}}^n dans {{R}}^p possède une limite en un point si et seulement si chacune des projections f^1,...,f^p de f admet une limite en ce point, tout ce qui précède concernant la différentiabilité s’étend sans changement, en appliquant les énoncés aux projections f^i.

Par exemple, l’application de {{R}}^2 dans {{R}}^3 définie par f(x,y)=(x+y,x y,x^2-y^2) est de classe C^1 sur {{R}}^2 car ses dérivées partielles en tout point ont des composantes polynômiales, donc continues.

Les projections de f sont respectivement f^1(x,y)=x+y, f^2(x,y)=x y, f^3(x,y)=x^2-y^2.

erreur fréquente
  • Ne pas confondre les applications partielles f_j et les projections f^i.
  • Dans l’écriture de la formule de Taylor, ne pas oublier que les dérivées partielles sont maintenant des vecteurs de {{R}}^p.

situation-problématique La principale différence avec le cas des champs scalaires est dans l’écriture de la différentielle, comme on va le voir.

Rappelons la formule de Taylor

 f(a+\Delta a)-f(a)=\sum_{j=1}^n  \Delta a^{j} \partial{j}f(a)+\|\Delta a\| \varepsilon (\Delta a)

avec  \lim_{\|\Delta a\|  \rightarrow 0} \varepsilon (\Delta a)=0.

La différentielle au point a, est une application linéaire qui transforme le vecteur \Delta a \in {{R}}^n en

d_a f(\Delta a)= \sum_{j=1}^n  \Delta a^{j} \partial{j}f(a)\in {{R}}^p,

et \varepsilon (\Delta a) \in {{R}}^p.

Reprenons l’exemple de f(x,y)=(x+y,x y,x^2-y^2).

  • Un premier procédé pour écrire d_{(x,y)} f(\Delta x,\Delta y) consiste à prendre la formule ci-dessus telle quelle :

     d_{(x,y)} f(\Delta x,\Delta y)= \Delta x (1,y,2x)+\Delta y (1,x,-2y)

  • Un deuxième procédé consiste à écrire la matrice de l’application linéaire d_{(x,y)} f, que l’on applique ensuite au vecteur (\Delta x,\Delta y) à condition de l’écrire en colonne.

Rappelons que les colonnes de la matrice d’une application linéaire dans une base de l’espace de départ B1 sont les coordonnées des images des vecteurs de B1 dans la base B2 de l’espace d’arrivée.

Si (e_1,...,e_j,...,e_n) est la base canonique de {{R}}^n, la définition de la différentielle donne

d_a f(e_j)= \partial{j}f(a)\in {{R}}^p,

d’où l’énoncé suivant :

propriété Proposition. Soit f un champ vectoriel défini sur une partie ouverte U de {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^n.

Si f est différentiable au point a \in U, la matrice de la différentielle au point a, d_a f dans les bases canoniques de {{R}}^n et {{R}}^p, est la matrice à p lignes et n colonnes, dont les colonnes sont les vecteurs dérivées partielles de f au point a, autrement dit

(\partial_{1}f(a),..,\partial_{j}f(a),..,\partial_{n}f(a) = \left (\begin{array}{ccc} \partial_{1}f^1(a) & \cdots & \partial_{n}f^1(a) & \vdots & \partial_{j}f^i(a) & \vdots&\partial_{1}f^p(a)&\cdots& \partial_{n}f^p(a)\end{array} \right ) .

définition Définition

Cette matrice de d_a f est appelée la matrice jacobienne de f au point a.

question remue-méninges Appliquer cette méthode pour écrire d_{(x,y)} f(\Delta x,\Delta y) dans l’exemple précédent.
erreur fréquente
  • Avant d’écrire une matrice jacobienne, on commence par contrôler la dimension de l’espace d’arrivée (c’est le nombre de lignes), et la dimension de l’espace de départ (c’est le nombre de colonnes).
  • De plus, si les coordonnées du point a sont données numériquement, on n’oubliera pas de les remplacer dans les coefficients de la matrice jacobienne.
question remue-méninges Quelles sont les particularités des matrices jacobiennes
  1. des fonctions réelles d’une variable réelle,
  2. des arcs paramétrés de {{R}}^p,
  3. des champs scalaires.

ce qu'il faut retenir
  • Comment calculer la matrice jacobienne d’un champ vectoriel, et son utilisation dans la formule de Taylor.
  • L’expression des dérivées partielles à l’aide de la différentielle : \partial_{j}f(a)=d_a f (e_j).
  • Pour le cas où la variable est réelle (on écrit alors t au lieu de a), l’expression de la dérivée à l’aide de la différentielle : f'(t)=d_t f(1).