Paradoxe du lampion

Cet article appartient au concept : Elément d`aire

Description : Exemple montrant que la somme des aires d’une famille de triangles inscrits dans un cylindre peut avoir une limite infinie.

Intention pédagogique : Montrer par un exemple que l’aire d’une surface ne peut pas être définie comme la longueur d’une courbe par discrétisation.

Niveau :
Temps d'apprentissage conseillé : 45 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .

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énoncé

ENONCE (Paradoxe du lampion)
$\Sigma$ est le tronc de cylindre de haureur , paramétré par $\mathcal{V}= \left ] 0,2 \pi \right [ \times \left ] 0,h \right [$ ,

$\Phi \left( u,v\right) = \left ( R \cos u,R \sin u,v \right ) .$

L’aire de $\Sigma$ est donc $\int \! \! \! \int\limits_{\mathcal{V}}\left\Vert N(u,v)\right\Vert dudv=2\pi Rh$ . Pour simplifier, on prend dans la suite.
et sont deux entiers non nuls.

On trace sur le rectangle $\mathcal{V}$ une suite de segments horizontaux, pour
$v=0,{{\frac{h}{2N}}},..,k{{\frac{h}{2N}}},..,h \textrm{.}$

Sur chacun des segments où est pair, on marque points correspondant à $u=l{{\frac{2 \pi }{q}}}$ , .
Sur chacun des segments où est impair, on marque points correspondant à $u= \lambda {{\frac{ \pi }{q}}}$ , $\lambda =1,3,..,2q-1$ .
En tansportant ces points sur le cylindre par $\Phi$ , vérifier que l’on obtient triangles isométriques dont les sommets sont sur le cylindre.
Evaluer l’aire du triangle formé par l’image des points $\left (u,v \right ) = \left ( 0,0 \right )$ , $\left ( {{\frac{2 \pi }{q}}},0 \right )$ , $\left ( {{\frac{ \pi }{q}}},{{\frac{h}{2N}}} \right )$ , en utilisant la formule
$\mathcal{A} \left ( ABC \right ) ={{\frac{1}{2}}} \left ( AB^{2}CB^{2}- \left \langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right > ^{2} \right ) ^{{{\frac{1}{2}}}} \textrm{.}$

En déduire que l’aire du polyèdre formé par les triangles est
$S=4Nq \sin {{\frac{ \pi }{q}}} \sqrt[{}]{ \left ( 1- \cos {{\frac{ \pi }{q}}} \right ) ^{2}+{{\frac{h^{2}}{4N^{2}}}} \textrm{,}}$
et constater que pour $N \geq q^{3}$ , cette aire tend vers l’infini avec .

solution

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