Paradoxe du lampion - epiphys

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     Paradoxe du lampion

     Cet article appartient au concept : Elément d`aire

Description :

Exemple montrant que la somme des aires d’une famille de triangles inscrits dans un cylindre peut avoir une limite infinie.

Intention pédagogique :

Montrer par un exemple que l’aire d’une surface ne peut pas être définie comme la longueur d’une courbe par discrétisation.


Niveau :

Temps d'apprentissage conseillé :

45 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé

ENONCE (Paradoxe du lampion)
 \Sigma  est le tronc de cylindre de haureur h>0, paramétré par   \mathcal{V}= \left ] 0,2 \pi   \right [  \times   \left ] 0,h \right [ ,

 \Phi  \left( u,v\right) = \left ( R \cos  u,R \sin  u,v \right ) .

L’aire de  \Sigma  est donc \int \! \! \!  \int\limits_{\mathcal{V}}\left\Vert
N(u,v)\right\Vert dudv=2\pi Rh. Pour simplifier, on prend R=1 dans la suite.
N et q sont deux entiers non nuls.

  1. On trace sur le rectangle   \mathcal{V} une suite de 2N+1 segments horizontaux, pour

    v=0,{{\frac{h}{2N}}},..,k{{\frac{h}{2N}}},..,h \textrm{.}


    Sur chacun des segments où k est pair, on marque q points correspondant à  u=l{{\frac{2 \pi  }{q}}}, l=0,..,q-1 .
    Sur chacun des segments où k est impair, on marque q points correspondant à u= \lambda  {{\frac{ \pi  }{q}}},  \lambda  =1,3,..,2q-1.
    En tansportant ces points sur le cylindre par  \Phi  , vérifier que l’on obtient 4Nq triangles isométriques dont les sommets sont sur le cylindre.
  2. Evaluer l’aire du triangle formé par l’image des points  \left (u,v \right ) = \left ( 0,0 \right ) ,  \left ( {{\frac{2 \pi  }{q}}},0 \right ) ,  \left ( {{\frac{ \pi  }{q}}},{{\frac{h}{2N}}} \right ) , en utilisant la formule

      \mathcal{A} \left ( ABC \right ) ={{\frac{1}{2}}} \left ( AB^{2}CB^{2}- \left  \langle   \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right > ^{2} \right ) ^{{{\frac{1}{2}}}} \textrm{.}


    En déduire que l’aire du polyèdre formé par les triangles est

     S=4Nq \sin  {{\frac{ \pi  }{q}}} \sqrt[{}]{ \left ( 1- \cos  {{\frac{ \pi  }{q}}} \right ) ^{2}+{{\frac{h^{2}}{4N^{2}}}} \textrm{,}}

    et constater que pour N \geq  q^{3}, cette aire tend vers l’infini avec q.