Cartographie - epiphys

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     Cartographie

     Cet article appartient au concept : Coordonnées Locales

Description :

Définition des coordonnées locales, exemple des coordonnées sphériques de l’espace, et de la droite projective réelle.

Intention pédagogique :

Poser une définition générale et opératoire des coordonnées locales.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction On reprend exactement la démarche en trois points exposée pour les cas particuliers des coordonnées cartésiennes de {{R}}^n et des coordonnées polaires du plan dans l’article Coordonnées locales.

situation-problématique Dans l’article précité, l’ensemble dont on voulait munir les points de coordonnées locales était familier, il s’agissait d’un espace affine. La définition que l’on va poser s’applique à des ensembles abstraits, plus difficiles à imaginer. Ces situations, qui relèvent des ensembles quotients, sont à l’origine de la notion de "variété différentielle". On en verra un exemple ci-dessous.
discussion
définition

Définition 1

  • Supposons donné un ensemble non vide X.
  • On appelle bijection locale définie sur X, à valeurs dans {{R}}^n, toute application injective \Phi, définie sur une partie de X, noté Dom(\Phi), dont l’image notée Im(\Phi), est un ouvert de {{R}}^n.
  • Un ensemble \mathcal {A} de bijections locales de X vers {{R}}^n est un atlas sur X si les deux propriétés suivantes sont vérifiées :
    • X est la réunion des ensembles Dom(\Phi) pour \Phi \in \mathcal {A},
    • Les applications \Psi \circ (\Phi)^{-1}, pour (\Phi, \Psi)  \in \mathcal {A} \mbox{x} \mathcal {A} sont des difféomorphismes de l’ouvert sur lequel ils sont définis (s’il n’est pas vide), sur leur image.

Les éléments de \mathcal {A} sont appelés cartes de l’atlas, les réciproques de cartes sont les paramétrisations locales de X compatibles avec l’atlas \mathcal {A}. Pour tout point m \in \mbox {Dom} \Phi, les n réels de la liste q=(q^1 ,.., q^n )=\Phi(m) sont appelés les coordonnées locales ou coordonnées curvilignes de m pour la carte \Phi.

Les applications \Psi \circ (\Phi)^{-1} sont les changements de cartes.

question remue-méninges Pour deux bijections locales Φ et Ψ, démontrer les relations

 \mbox {Dom}(\Phi  \circ  \Psi ^{-1})=  \Psi (\mbox {Im} (\Psi ^{-1}  )   \bigcap \mbox {Dom}(\Phi  )).

 \mbox {Im}(\Phi  \circ  \Psi ^{-1})=  \Phi (\mbox {Im} (\Psi ^{-1}  )   \bigcap \mbox {Dom}(\Phi  )).

situation-problématique Une première catégorie d’exemples est donnée par le choix d’un espace affine pour ensemble X.

Ce choix, comme on l’a déjà dit Coordonnées locales, est soumis à la contrainte suivante : l’atlas considéré doit contenir les cartes associées à la donnée d’un repère quelconque. Disons plus grossièrement que les coordonnées locales envisagées doivent être compatibles avec toutes les coordonnées cartésiennes. Pour cela, il suffit qu’elles soient compatibles avec les coordonnées cartésiennes d’un seul repère.

Par exemple, si X est la droite réelle, la carte définie par \Phi (x)=x^3 n’est pas acceptable, car elle n’est pas compatible avec l’application identique qui est la carte définie par le repère canonique (0;1).

question remue-méninges Pourquoi ?
discussion Avec  X = {{R}}^3, démontrons que les "coordonnées sphériques" sont acceptables. Autrement dit, on envisage l’atlas de  X = {{R}}^3 constitué
  • des cartes cartésiennes associées aux repères. \Phi _{\mathcal {R}} est l’application qui associe à un point m de X la liste (x,y,z) de ses coordonnées dans le repère \mathcal {R},
  • des cartes dites sphériques, ainsi appelées car les trois coordonnées locales d’un point sont la distance r à l’origine, la co-latitude \theta, et la longitude \varphi, relativement à la donnée d’un repère orthonormal \mathcal {R}=(O;I,J,K).Posons \Psi _{\mathcal {R}}(m)=(r,\theta,\varphi).

Au lieu de définir géométriquement (r,\theta,\varphi), il est plus simple de donner directement l’expression du changement de paramètres pour un repère orthonormal choisi, c’est à dire

(x,y,z)=\Phi _{\mathcal {R}} \circ (\Psi _{\mathcal {R}})^{-1} (r,\theta,\varphi)=(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta ).

sur l’ouvert U=\,]0,+\infty[\text{x}]0,\pi[\text{x}]-\pi,\pi[.

Ces données sont contrôlables sur la figure ci-dessous.

question remue-méninges Prouver que l’application ainsi définie, que l’on notera f pour simplifier, est un difféomorphisme de U sur un ouvert de  {{R}}^3 que l’on précisera.
ce qu'il faut retenir Pour les diverses cartes du plan ou de l’espace (notons-le E), compatibles avec les coordonnées cartésiennes, on a ainsi un difféomorphisme f défini sur un ouvert U de  {{R}}^n, n=2,3 sur un ouvert du plan ou de l’espace, qui transforme les coordonnées locales q d’un point m en ses coordonnées cartésiennes.

Les colonnes (\partial_i f (q)) de la matrice jacobienne de f en chaque point q forment donc une base "mobile" de E, car elle dépend de m.

définition Définition 2

En chaque point m=f(q), cette base (e_i)= (\partial_i f (q)) est la base naturelle associée à f au point m.

question remue-méninges Donner l’expression de la base naturelle normalisée notée (\varepsilon_r , \varepsilon_\theta, \varepsilon_\varphi) pour les coordonnées sphériques.
situation-problématique Donnons un autre exemple d’ensemble muni d’un atlas.

X est l’ensemble des droites vectorielles du plan  {{R}}^2. On rencontre naturellement cet ensemble lorsqu’on veut donner un sens au fait que la tangente à une courbe en un point m_0, apparait comme limite des sécantes à la courbe passant par ce point et un point m de la courbe. Prendre la limite des vecteurs \overrightarrow {m_0 m} ne présente aucun intérêt, celle-ci est nulle. On choisit donc de normaliser ces vecteurs, ce qui conduit à la limite d’un vecteur u(t) sur le cercle unité, mais en général, on obtient une limite à droite et à gauche opposées, donc pas de limite, alors que la tangente peut exister !

Pour lever ces contradictions, on voit qu’il faut identifier les points diamétralement opposés sur le cercle unité. Il s’agit d’un ensemble quotient.

discussion
  • Finalement, notons X l’ensemble quotient de  {{R}}^2 privé de (0,0) par la relation de colinéarité : deux vecteurs non nuls u,v sont équivalents s’il existe un scalaire (non nul) \lambda tel que v= \lambda u.
  • Si \overline v est la classe d’équivalence d’un vecteur v=(x,y), on pose \Phi (\overline v) = \frac{x}{y} et \Psi (\overline v) = \frac{y}{x}. L’une au moins de ces deux applications est toujours définie.
question remue-méninges Vérifier que ceci définit un atlas (à deux cartes) sur X.

Pour cet atlas, les classes d’équivalence (qui représentent les droites vectorielles du plan) ont une coordonnée réelle non nulle, et l’on peut dire qu’une suite de droites a une limite si la suite de ses coordonnées a une limite, ce qui résout le problème posé.

définition L’ensemble X est appelé la droite projective réelle.
erreur fréquente L’exemple de la droite projective montre que X peut être un ensemble abstrait pour lequel l’affirmation "une carte est un difféomorphisme" n’a aucun sens à priori. C’est la raison pour laquelle, pour vérifier la définition d’un atlas sur un ensemble, il faut prouver que les changements de cartes, et non les cartes, sont des difféomorphismes.