Exemples d`équations aux dérivées partielles - epiphys

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     Exemples d`équations aux dérivées partielles

     Cet article appartient au concept : Différentielle

Description :

Résolution d’équations aux dérivées partielles par changement de variables.

Intention pédagogique :

Mettre en oeuvre le théorème d’inversion globale et la différentiation des fonctions composées.


Niveau :

Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé

EXERCICE 1
 \varphi  est l’application de  \mathbb{R} ^{2} dans  \mathbb{R} ^{2} définie par  \varphi   \left ( u,v \right ) = \left ( x,y \right )

 \left ( x,y \right ) = \left ( uv,u+v \right )

  1. Vérifier qu’il existe un demi plan P sur lequel la restriction de  \varphi  est un difféomorphisme, préciser l’ensemble  \varphi  \left( P\right) .
  2. On envisage l’équation aux dérivées partielles

    {{\frac{ \partial  f}{ \partial  u}}}-{{\frac{ \partial  f}{ \partial  v}}}+3 \left (u-v \right ) f=0 \qquad (1)

    où la fonction inconnue est une fonction scalaire C^{1} dans P.
    Ecrire l’équation équivalente vérifiée par la fonction g=f \circ   \varphi  ^{-1} sur  \varphi  \left( P\right) (on remarque qu’il est inutile d’exprimer  \varphi  ^{-1}).
  3. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par g. On posera g\left( x,y\right) =G\left( x,y\right) e^{3x}.
  4. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (1), dans P et dans  \mathbb{R} ^{2}.
énoncé

EXERCICE 2

  1. On rappelle que l’application

    \begin{eqnarray}
g  & :  & U  =   ]0,+\infty[\times]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\rightarrow\mathbb{R} ^{2} \nonumber \\
(r,\theta) & \longmapsto & (x,y)  =  (r\cos\theta,r\sin\theta)\nonumber  \end{eqnarray}

    définit un C^{1}-difféomorphisme de U sur g\left( U\right) , quel est l’ensemble g\left( U\right)  ?
  2. Si f: \mathbb{R} ^{2} \rightarrow   \mathbb{R} est une fonction scalaire C^{1}, on pose F=f \circ  g. Ecrire la matrice jacobienne de F en un point  \left ( r, \theta  \right )  \in  U en fonction des dérivées partielles {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}} et {{\frac{ \partial  f}{ \partial  y}}}.
  3. En déduire la matrice jacobienne de f en un point  \left ( x,y \right ) =g \left ( r, \theta   \right )  \in  g\left( U\right) en fonction des dérivées partielles {{\frac{ \partial  F}{ \partial  r}}} et {{\frac{ \partial  F}{ \partial   \theta  }}} au point  \left ( r, \theta   \right ) .
  4. On s’intéresse aux fonctions scalaires f, C^{1} sur le demi plan x>0 de  \mathbb{R} ^{2}, telles que

     x{{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}}+y{{\frac{ \partial  f}{ \partial  y}}}={{\frac{y}{x}}}.  \qquad (1)

    1. Par un changement de variables revenant à remplacer f par la fonction F ci-dessus, démontrer que la fonction F doit vérifier l’équation

       \label{2} r{{\frac{ \partial  F}{ \partial  r}}}= \tan   \theta \qquad (2)

    2. Donner la forme générale des solutions de (2).
    3. En déduire l’expression d’une fonction f, solution de (1) pour laquelle f\left( 1,0\right) =0.