Ordre de contact - epiphys

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     Ordre de contact

     Cet article appartient au concept : Différentielle

Description :

Illustrations graphiques du contact d’ordre 0,1,2 pour deux fonctions d’une variable réelle, contact polynomial en lien avec la dérivation. Extension à n variables et définition.

Intention pédagogique :

- Donner une définition précise du contact d’ordre p en rappelant la notion de développement limité.
- Pour les fonctions d’une seule variable, et le contact polynômial, savoir mettre en perspective les hypothèses nécessaires pour un développement limité, une formule de Taylor.
- Pour les fonctions de plusieurs variables, comprendre la nécessité de la norme de la variable dans la définition du contact.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Commençons par le cas des fonctions réelles d’une variable réelle.

Pour deux fonctions f,g, que signifie le contact en un point ? Au minimum, il faut que les courbes représentant ces fonctions aient un point commun, par exemple e^x et \cos x au point (0,1).

Cette situation correspond à la condition minimale de contact.


situation-problématique Qu’appelle-t-on contact d’ordre p pour deux courbes planes ? ou, ce qui revient au même au mons dans certaines conditions, pour deux fonctions réelles d’une variable réelle.
discussion
définition Définition 1

I est un intervalle ouvert, a un point de I, p est un entier naturel.

f et g sont deux fonctions réelles défines et continues sur I.

Disons que f et g ont un contact d’ordre p au point a si

  • f(a)=g(a)
  • et \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^p}=0

La deuxième relation s’écrit aussi

f(x)-g(x)=(x-a)^p \varepsilon(x-a)

\lim_{x\rightarrow a} \varepsilon(x-a)=0

question remue-méninges Si l’on décide de prendre g comme approximation de f au voisinage de a, que représente f(x)-g(x) et \frac {f(x)-g(x)}{x-a} au point x ?
question remue-méninges Si g est un polynôme, comment s’appelle cette propriété ?
question remue-méninges Si p=1, et si g est un polynôme du premier degré, que peut-on dire ?
question remue-méninges Une fonction affine peut-elle avoir un contact d’ordre p>1 avec une fonction continue f ?
question remue-méninges
Prenons pour simplifier a=0. Si la fonction f admet un contact d’ordre p en \ 0 avec un polynôme P de degré au plus égal à p, celui-ci est unique.
Comment s’appelle P ?
Prouver l’unicité de P.
situation-problématique Plus généralement, existe-t-il une relation entre un contact d’ordre p avec un polynôme de degré p et la dérivabilité à l’ordre p ?
discussion
  • Non, prenons par exemple la fonction f définie par f(0)=1, et f(x)=\cos x+x^3 \sin (1/x) si x\neq 0.

Cette fonction admet P(x)=1-\frac{x^2}{2} comme d.l. à l’ordre 2 en 0 (vérifier ce fait), mais elle n’est pas deux fois dérivable à l’origine. En effet,

{\frac {f'(x)-f'(0)}{x}}=- \frac{\sin x}{x}+3 x \sin (1/x)-\cos (1/x)

n’a pas de limite en 0.

La figure ci-dessous représente f et P.

  • Par contre, si l’on suppose que la fonction f est de classe C^\infty, on sait qu’elle vérifie la formule de Taylor à tout ordre p, autrement dit, si a=0, le développement limité existe, et il prend la forme suivante :

    f(x)=f(0)+x f'(0)+ \frac{x^2}{2} f''(0)+...+\frac{x^p}{p!} f^{(p)}(0) +x^p \varepsilon(x)

    .

La figure suivante représente les cas p=0,1,..,5 pour f(x)=e^x et a=0.

erreur fréquente Jusqu’ici, la limite est relative à la variable x, et l’entier p est donné.

Le tableau des représentations qui précède suggère de permuter les variables x et p, et d’étudier la convergence de la suite des polynômes de Taylor vers f, lorsque p tend vers l’infini, et pour quelles valeurs de x.

Cette question est d’une toute autre nature, on ne l’étudie pas ici (c’est le problème de la représentation d’une fonction C^\infty comme somme d’une série entière).

situation-problématique Comment généraliser la définition du contact d’ordre p aux fonctions de n variables réelles, pour n>1 ?
discussion

Dans la définition 1, si x et a sont des vecteurs, il est clair que l’expression \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^p} n’a aucun sens.

Pour y remédier, il suffit de diviser le vecteur par la norme de (x-a)^p. On sait que, dans R^n, toutes les normes sont équivalentes. Par suite, dans la définition qui suit, le choix de la norme est arbitraire.

définition Définition 2

A est une partie de R^n, a un point de A, p est un entier naturel.

f et g sont deux fonctions réelles défines et continues sur A.

Disons que f et g ont un contact d’ordre p au point a si

  • f(a)=g(a)
  • et \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{\|(x-a)\|^p}=0
notation Attention, dans la définition 2, x=(x_1,...,x_n), a=(a_1,...,a_n). Pour n=2,3, on écrira sans indices (x,y) ou (x,y,z), il est donc nécessaire de prendre une autre notation que x pour le vecteur, par exemple v.
question remue-méninges Avec n=2, posons f(x,y)=x^2+y^2 et g(x,y)=x^4+y^4. La figure représente les graphes de f et g au voisinage de a=(0,0).

Prouver que f et g ont un contact d’ordre un au voisinage de l’origine.

question remue-méninges Quel est l’ordre de contact de g avec le plan z=0 à l’origine ?
ce qu'il faut retenir Les définitions 1 et 2 sont à connaitre.

Il est par ailleurs évident qu’un contact d’ordre p>0 est aussi un contact d’ordre p-1, p-2,..,1,0.

pour aller plus loin Différentiabilité