Dérivées partielles - epiphys

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     Dérivées partielles

     Cet article appartient au concept : Dérivée partielle

Description :

Les dérivées partielles d’un champ scalaire sont définies. Cette définition est mise en oeuvre sur des exemples.

Intention pédagogique :

La notion de dérivée partielle répond à un problème posé dans l’article "observer". Il s’agit ici de poser une définition générale qui doit être bien connue et opératoire. Cette notion est une première composante (essentielle) du concept de différentielle.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique
  • Le taux de variation d’un champ scalaire en un point, dans la direction d’un axe de coordonnées, a été introduit dans l’article "observer" pour un champ scalaire à deux variables.
  • Par analogie, on étendrait cette notion à des fonctions de trois, quatre variables ou plus. Par exemple, si une pièce de métal, de forme quelconque, subit un échauffement variable dans l’espace et dans le temps, la température en chaque point à chaque instant sera une fonction des coordonnées x,y,z de ce point et de l’instant t, autrement dit une fonction de la forme f(x,y,z,t).
  • Plus généralement, une première question est : comment définir le taux de variation en un point, pour un champ scalaire à n variables ? (n entier supérieur ou égal à un).

Prenons

  • une application f définie sur une partie Ude {{R}}^n, à valeurs réelles,
  • un point a de U (on va voir pourquoi cette notation est plus commode que m_0),
  • un choix de variable, par exemple la variable numéro j avec  j\in \{ 1,...,n \} ,

alors,

  1. le quotient  {{\frac{f \left ( a+ \Delta  a^{j}e_{j} \right ) -f \left ( a \right ) }{ \Delta  a^{j}}}} représente la variation moyenne du champ f au point a, lorsque la jème coordonnée de la variable en ce point, subit une variation \Delta  a^{j} dans la direction de l’axe e_j.
  2. la limite de ce quotient lorsque { \Delta  a^{j}} tend vers 0 représente le taux de variation de f au point a, dans la direction de l’axe  e_{j}=\left ( 0,..,1,..,0 \right ) . Ce taux est noté {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x^{j}}}}\left( a\right) ou  \partial  _{j}f \left ( a \right ) .

Le réel  \partial  _{j}f \left ( a \right ) n’est autre que la dérivée de l’application partielle


x \mapsto g(x)= \left ( a_{1},..,x,..,a_{n} \right )

au point a.

Pour n=2 ou n=3, les indices ne sont pas utilisés, et l’on écrira plutôt {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}}\left( a\right) , {{\frac{ \partial  f}{ \partial  y}}}\left( a\right) , {{\frac{ \partial  f}{ \partial  z}}}\left( a\right) .

définition

-  \partial  _{j}f \left ( a \right ) est la jème dérivée partielle de f au point a.

erreur fréquente On ne confondra pas le champ scalaire f, qui possède n variables, et l’application partielle au point a, notée g, fonction d’une seule variable scalaire. C’est la dérivée de g au point a_j qui est égale à la dérivée partielle de f au point a. Parler de dérivée pour un champ scalaire n’a pas de sens (sauf si n=1), c’est la raison d’être du concept de dérivée partielle.
situation-problématique Le taux de variation en un point étant défini, une deuxième question est : comment le calculer ?

Distinguons deux types de situations.

  1. Il y a les cas où l’expression de f permet d’utiliser les formules connues de dérivation pour les applications partielles. Par exemple, pour {{\frac{ \partial  (xy+\sin y)}{ \partial  x}}}\left( 0,1\right) , on commence par l’expression de la dérivée de l’application partielle en (x,y), soit y puis on affecte la variable (x,y)=(0,1), ce qui donne la valeur 1. Attention, l’écriture de la fonction dérivée et l’affectation, sont deux opérations qui ne se permutent pas.
  2. Dans le cas contraire, il faut revenir à la définition, et calculer la variation moyenne puis sa limite (si elle existe).
question remue-méninges
  1. Avec n=2, {f{\left( {x}{\mathrm{,}}{y}\right) }}={ \arctan {\left( { \frac{y}{x}}\right) }}, et a=(x,y)\not=(0,y), calculer {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}}\left( a\right) et {{\frac{ \partial  f}{ \partial  y}}}\left( a\right) .
  2. Avec n=2,  f{\left( {x}{\mathrm{,}}{y}\right) }}={{\sqrt{{}|{{xy}|{}}}}
, et a=(0,1), calculer {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}}\left( a\right)
  3. Avec n=2, {f{\left( {x}{\mathrm{,}}{y}\right) }}={{\frac{x^{6}}{x^{8}+{\left(y-x^2\right)}^{2}}}}, si (x,y)\not=(0,0), {f{\left( {0}{\mathrm{,}}{0}\right) }}=0, et a=(0,0), calculer {{\frac{ \partial  f}{ \partial  x}}}\left( a\right) et {{\frac{ \partial  f}{ \partial  y}}}\left( a\right)
  4. Dans l’exemple précédent, prouver que la fonction f n’est pas continue en (0,0).
notation En physique, on utilise des notations telles que {{ {\left( { \frac{∂U}{∂T}}}\right) }}_{{V}}.
  • Si U est une fonction des variables T et V, cette notation comporte une précision inutile, elle peut être remplacée par {{\frac{∂U}{∂T}} } sachant que la variable V est fixe lorsqu’on calcule la dérivée partielle par rapport à T.
  • Par contre, U,p,V étant trois variables (peu importe leur sens physique ici), posons H=U+pV. Dans ce cas, {{ {\left( { \frac{∂V}{∂p}}}\right) }}_{{H}}. signifie que U,p,V varient avec la contrainte H=Cte, que l’on exprime V comme fonction de U et p avec cette contrainte, et que l’on calcule {{\frac{∂V}{∂p}}} dans ces conditions.