Divergence d'un vecteur en coordonnées cylindriques - epiphys

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     Divergence d’un vecteur en coordonnées cylindriques

     Cet article appartient au concept : Divergence

Description :

Méthode de calcul de  div \ \vec V en coordonnées cylindriques.

Intention pédagogique :

Donner la méthode de calcul de la divergence d’un champ de vecteur connaissant l’expression des vecteurs de ce champ dans un repère local cylidrique.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

20 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Dans cet article, on manipule l’opérateur nabla ( \vec \nabla ) qui a été défini dans l’article calculer intitulé ’Vecteur Nabla’ du concept Gradient et dont on a présenté les différentes expressions en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Cet opérateur permet aussi de calculer la rotationnel d’un vecteur.



situation-problématique L’opérateur divergence permet de construire un champ scalaire  D(M) à partir d’un champ vectoriel  \vec V (M) ( \vec V aura les propriétés de dérivabilité qu’il convient). Comment s’exprime en un point M la divergence d’un vecteur  \vec V(M) lorsque l’on travaille en coordonnées cylindriques, cartésiennes, sphériques ?
discussion Dans un système de coordonnées cylindriques, on obtient l’expression de la divergence de  \vec V = V_r(r,\theta,z) \vec e_r+ V_{\theta}(r,\theta,z) \vec e_{\theta} + V_z(r,\theta,z) \vec e_z en tout point M(r,\theta,z) en effectuant formellement le produit scalaire de  \vec \nabla par  \vec V à partir de leur expression en coordonnées cylindriques. Ainsi, on a :

 D(M) = div \ \vec V = \vec \nabla \cdot \vec V


D (M) = div \ \vec V = \left( \vec e_r \ \frac{\partial{}}{\partial{r}}+ \vec e_{\theta} \ \frac{1}{r} \frac{\partial{}}{\partial{{\theta}}} + \vec e_z \ \frac{\partial{}}{\partial{z}} \right) \cdot \left( V_r \vec e_r + V_{\theta} \vec e_{\theta} + V_z \vec e_z \right)

 
\begin{array}{llll}
D(M) &=& div \ \vec V & = \displaystyle \  \vec e_r \cdot  \frac{\partial{}}{\partial{r}} \left( V_r \vec e_r + V_{\theta} \vec e_{\theta} + V_z \vec e_z \right)  \\ 
&&& \displaystyle + \  \vec e_{\theta} \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial{}}{\partial{{\theta}}} \left( V_r \vec e_r + V_{\theta} \vec e_{\theta} + V_z \vec e_z \right) \\ 
&&& \displaystyle + \  \vec e_z  \cdot \frac{\partial{}}{\partial{z}} \left( V_r \vec e_r + V_{\theta} \vec e_{\theta} + V_z \vec e_z \right)
\end{array}

Soit (tenant compte de ce que \vec e_r et \vec e_{\theta} dépendent de \theta) :
 D(M) = div \ \vec V = \frac{\partial{V_r}}{\partial{r}} +\frac{1}{r} V_r + \frac{1}{r} \frac{\partial{V_{\theta}}}{\partial{\theta}}}+\frac{\partial{V_z}}{\partial{z}}

ou

 \boxed { D(M) = div \ \vec V = \frac{1}{r} \frac{\partial{(r V_r)}}{\partial{r}} + \frac{1}{r} \frac{\partial{V_{\theta}}}{\partial{\theta}}+\frac{\partial{V_z}}{\partial{z}} }

Le résultat est bien un scalaire !!