Champs scalaires élémentaires - epiphys

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     Champs scalaires élémentaires

     Cet article appartient au concept : Champ, fonction

Description :

Qu’est-ce qu’un champ uniforme, permanent, stationnaire ? Comment cela se formalise-t-il dans une équation ?

Intention pédagogique :

Donner la définition de quelques champs élémentaires et apprendre comment sont formalisées les propriétés de ces champs dans les équations différentielles.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .

Documents joints :
  • Jet (QuickTime - 37.4 ko)

introduction L’idée de champ est connue. On sait ce qu’est une dérivée partielle et ce que signifie par exemple la notation  \partial{f} / \partial{x} pour une fonction  f(x,y,z) .

situation-problématique Dans cet article, on appelle région d’étude la région de l’espace sur/dans laquelle travaille le physicien dans le cadre d’un problème donné. Cette région est fréquemment plus petite que le domaine de définition mathématique des champs scalaires que le physicien a à considérer dans son problème.

Parfois, un champ scalaire possède une propriété non pas sur tout le domaine d’étude mais sur une partie de ce domaine. On dira alors le champ X a telle ou telle propriété sur telle ou telle région (une paroi, une interface, un volume particulier dans un matériau inhomogène, etc.) du domaine d’étude.

Soit S le champ scalaire défini par :

 
\begin{array}{cccc}
S: &  \R^3  & \longrightarrow & \R \\
    & (x,y,z) & \longrightarrow & S(x,y,z)
\end{array}

définition Champ uniforme

On appelle champ uniforme sur une région d’étude R tout champ dont la valeur est constante sur cette région.

Champ de température uniforme dans une maison.


Dans les équations, ceci se traduit par :
-  S(x,y,z) = Constante = S_0
-  \frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{\partial S}{\partial z}=0


erreur fréquente L’erreur la plus fréquente est de croire qu’un champ uniforme ne dépend pas du temps. Un champ dépendant du temps peut être uniforme à une date t, ne plus l’être à un autre moment puis le redevenir. Un champ peut uniformément varier de manière sinusoïdale par exemple. Cela signifie que les variations temporelles du champ en question ont même amplitude et ont lieu en phase (de manière sinusoïdale ici) en tout point.

La notion d’uniformité est une notion exclusivement spatiale !



définition Champ plan

On appelle champ plan sur une région d’étude R tout champ qui, en tout point de R, est invariant selon une direction donnée commune. Le champ est plan dans le plan perpendiculaire à la direction d’invariance. En général, la direction d’invariance est fixée comme étant l’une des directions du repère d’observation.

Supposons que le champ S soit plan et alignons l’axe y d’un repère d’observation cartésien avec la direction d’invariance de S. Dans les équations, ceci se traduit par :
-  S(x,y,z) = S(x,z)
-  \frac{\partial S}{\partial y}=0

On ne préjuge pas de ce qui se passe selon les autres directions.

Le champ ci-dessus est plan. Il ne varie pas dans la profondeur, i.e. selon y. Des photos de ce champ dans des plans (x,z) à différentes cotes y_1, y_2 et y_3 conduisent à 3 clichés identiques.


définition Champ permanent

On appelle champ permanent sur une région d’étude R tout champ dont la valeur, en tout point de cette région, est constante au cours du temps.

Dans les équations, ceci se traduit par :
-  \frac{\partial S}{\partial t}=0

A deux instant t_1 et t_2 différents, le champ a même allure.


erreur fréquente L’erreur la plus fréquente est d’écrire que champ permanent se traduit par :
-  \frac{dS}{dt}=0 avec des "d droits".

L’égalité n’est vraie que pour des champs uniformes.

Exemple de champ de concentration non permanent (l’allure du champ évolue à chaque instant)

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commentaire Attention, certains auteurs utilisent indifféremment permanent et stationnaire pour indiquer qu’un champ ne dépend pas du temps. Stationnaire signifie en toute rigueur au repos. Il s’agit probablement d’une dérive de l’anglais qui, pourtant, distingue bien steady (permanent) de stationary (au repos). Peut-être que la proximité sonore des deux mots steady et stationary a conduit à la confusion constatée fréquemment.

Attention donc à bien se faire préciser le sens des mots de son interlocuteur.

commentaire Il n’est pas facile de représenter un champ scalaire tridimensionnel. Généralement on le fait à partir de coupes choisies judicieusement comme sur les figures ci-dessous qui représentent le champ 3D défini par  T(x,y,z) = x.\exp {(-x^2-y^2-z^2)} .



question remue-méninges Comment faire des coupes en pratique dans une expérience ?