Surfaces et lignes de niveau

Cet article appartient au concept : Equations implicites, courbes et surfaces

Description : On définit et on illustre les terminologies "surface de niveau" et "ligne de niveau". Les équations correspondantes sont données.

Intention pédagogique : Exemplifier les notions intuitives de surface et de ligne de niveau. Rappeler que les surfaces de niveau sont définies en 3D par des équations implicites.

Niveau : L2
Temps d'apprentissage conseillé : 25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .

introduction La notion de champ scalaire est acquise.

situation-problématique La diffusion naturelle (ou moléculaire) d’une espèce A dans une autre espèce B généralement appelée milieu (A est par exemple de l’encre tandis que B est de l’eau) se fait des zones les plus concentrées en espèce A vers les zones les moins concentrées en espèce A. C’est ce qu’exprime la loi de Fick dans l’article intitulé "Lois de transfert diffusif" du concept gradient.

Ainsi, si les deux espèces A et B sont les réactifs d’un procédé chimique et que l’on laisse ces deux espèces initialement séparées se mélanger doucement par diffusion moléculaire [1], il peut être intéressant d’examiner et de visualiser (grâce à une simulation numérique généralement) où dans le réacteur [2] sont localisées les zones de concentration maximale et minimale pour étudier les performances du procédé en question.

Dans le même ordre d’idées, il pourrait être question de la diffusion d’un virus, d’un gaz toxique ou tout simplement d’odeurs (concentration en composé odorant) dans un bâtiment occupé.

Il pourrait encore s’agir, dans une pièce mécanique soumise à des _contraintes thermiques, de chercher à visualiser la distribution spatiale de la température au sein de la pièce pour prévoir la manière dont la chaleur va s’y propager par conduction (loi de Fourier, [3]) et, ultérieurement, à quelles contraintes internes sera soumise la pièce étudiée.

discussion Compte tenu de ce qui précède, pour un champ scalaire, il semble pertinent (et quasiment naturel) de chercher à repérer et représenter des régions où une grandeur physique $\Psi$ prend une même valeur donnée.

Ces régions sont appelées régions iso- $\mathbf \Psi$ . En 3D, elles prennent l’allure de surfaces.

En 3D, l’équation des surfaces iso- $\Psi$ est donc du style $\Psi(x,y,z) = \Psi_0$ soit :

$\widetilde{\Psi}(x,y,z) = \Psi(x,y,z) - \Psi_0 = 0$ qui est une équation implicite.

ce qu'il faut retenir On appelle surface de niveau d’un champ scalaire $\mathbf{\Psi(M)}$ , non uniforme, tout ensemble de points où ce champ prend une valeur donnée $\mathbf{\Psi_0}$ [4].

Equation d’une surface de niveau : $\Psi(M) = \Psi}(x,y,z) = \Psi_0$

notation On parlera aussi de surfaces iso- $\mathbf \Psi$ et encore plus couramment et plus simplement "d’iso- $\mathbf \Psi$ " (par exemple, les isobares, les isothermes, les isopotentielles, etc.). L’avantage de cette dernière terminologie est qu’elle est adaptée à l’étude de problèmes 3D ou 2D, indifféremment.

Equation d’une iso- $\Psi$ en 3D : $\Psi(M) = \Psi}(x,y,z) = 0$

Equation d’une iso- $\Psi$ en 2D : $\Psi(M) = \Psi}(x,y) = 0$

discussion Si pour un problème 3D on parle de surfaces de niveau, il semblerait naturel de parler de courbes ou de lignes de niveau pour un problème 2D.

On le fait. Toutefois, la terminologie ligne ou courbe de niveau d’un champ scalaire est souvent réservée pour désigner l’intersection d’une surface de niveau d’un champ scalaire 3D avec une autre surface.

Ci-dessous les lignes de niveau correspondant à la distribution spatiale de la concentration moyenne en gaz d’échappement dans une rue canyon (source au niveau du sol de la rue). Ces courbes de niveau sont obtenues en faisant l’intersection entre les surfaces "iso-concentration moyenne" et une section droite de la rue.

Mesures par FID rapide dans la soufflerie atmosphérique Blasius de l’université de Hamburg (M. Pavageau, 1996).

Ainsi, lorsque l’on considère l’intersection entre une iso-altitude (c’est bien une surface de niveau du champ scalaire 3D qui à tout point lui associe le scalaire qui est l’altitude du point ) et la surface que dessine le relief de la terre, on obtient une courbe de niveau [5]. On retrouve ces courbes sur les cartes géographiques (voir figure ci-dessous).

Les courbes marron clair sont des lignes de niveau qui représentent l’altitude. Chaque courbe correspond à une altitude donnée. La différence d’altitude entre deux courbes de niveau consécutives est partout la même.

question remue-méninges Sur la figure ci-dessus, qu’indique un resserrement ou un relachement des courbes de niveau sachant que la différence d’altitude entre deux courbes de niveau consécutives est partout la même ?

réponse

Affichez la réponse

question remue-méninges A partir de ce qui précède, lorsque l’on se trouve en un point donné, peut-on prévoir la direction de plus grande pente ?

réponse

Affichez la réponse

question remue-méninges Pour un champ scalaire, existe-t-il toujours des surfaces de niveau ?

réponse

Affichez la réponse

pour aller plus loin Une autre question concernant le rôle du gradient de la fonction implicite est posée dans Points réguliers d’un champ scalaire.