Densité, grandeur intensive, grandeur extensive et définitions - epiphys

Global Local Liste Concept

Densité, grandeur intensive, grandeur extensive et définitions

Description :

Sur la notion de "définition", grandeur extensive relativement à une mesure.

Intention pédagogique :

Préciser ce qu’est une grandeur extensive, distinguer quelques uns des sens du mot "définition".


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction La question des densités, et donc des grandeurs extensives, fournit une occasion de réfléchir sur ce qu’est une définition.

situation-problématique Observons les deux énoncés suivants :
- Une variable extensive est une grandeur qui est proportionnelle à la taille du système que cette grandeur caractérise.
- Une variable intensive est une grandeur qui ne dépend pas de la quantité de matière en présence dans le système considéré.

Ces définitions sont-elles de la même nature que des définitions mathématiques ?

discussion Pour répondre, analysons le premier de ces énoncés.

- Dire "Une variable ... est une grandeur qui ..." suppose que le terme de "grandeur" a été défini en amont, et qu’une grandeur qui vérifie la propriété énoncée devient une variable.

- La variable est proportionnelle à la "taille". Le volume d’un carré que l’on déforme par homothétie reste nul. Son aire est multipliée par le carré du rapport d’homothétie. Sa longueur n’existe pas.

Il apparait que la "taille" fait référence à une mesure, mais sans précisions supplémentaires, que penser de cette "taille" ?

- Qu’es-ce qu’un système ?

- La grandeur est-elle bien caractéristique du système ? Deux plaques rectangulaires du même métal, de mêmes dimensions, peuvent différer par la température, la couleur..

On voit que la "caractérisation" prend un sens dans une théorie donnée. Celle-ci doit être précisée.

énoncé Faire de même l’analyse du deuxième énoncé.
situation-problématique Comparons les énoncés précédents et les deux suivants.

- Un nombre premier est un entier naturel distinct de 1, qui n’admet pas d’autres diviseurs que lui même.

- Une filtration d’un espace topologique X est la donnée d’une suite (X_n) de sous-espaces de X, croissante pour l’inclusion, dont la réunion est X et telle que la topologie finale définie par les inclusions des X_n dans X soit la topologie de X.

discussion
- Ces définitions relèvent du domaine mathématique. On entend par là que chaque terme est soit défini en amont par l’auteur soit supposé connu, mais dans tous les cas il existe quelque part des références qui fournissent ces définitions. On conçoit qu’il n’est pas possible de tout définir. Il faut bien partir de termes premiers (ensembles, structures..).

- Distinguons trois types de définitions mathématiques :
Un nom attaché à une structure (en fait une catégorie), par exemple un groupe, un espace-vectoriel,
Un nom attaché au sous-ensemble des éléments d’un ensemble possédant une propriété donnée (un nombre premier, un idéal maximal, un produit scalaire),
- Un nom attaché à une formule de calcul (le gradient d’un champ scalaire).

- Dans tous les cas, le choix est dicté par la commodité pour effectuer des raisonnements, avec une part d’arbitraire. Pourquoi est-il commode de ne pas considérer 1 comme nombre premier ?

situation-problématique Comment s’y retrouver ?
discussion
Pour ce qui nous intéresse ici, il suffit de se repérer par rapport aux trois sommets du triangle suivant.
La nature nous fournit des situations, l’activité scientifique élabore des modèles.
Des concepts tels que l’énergie, les forces, divers attributs de la matière comme la masse, la charge, le spin..ne peuvent faire l’objet d’une définition universelle, ils relèvent du côté situation-modèle dans le triangle ci-dessus.
Par contre, à une échelle donnée, dans un contexte donné, si l’on accepte un modèle comme valide, on peut poser une définition interne dans ce modèle, et là il y a lieu d’introduire la rigueur nécessaire au raisonnement.
Mais ceci dépend du modèle. La définition de la masse n’est pas la même en mécanique classique et en mécanique relativiste.
Une difficulté est qu’un même terme peut désigner un concept physique concret et un objet mathématique bien défini, c’est le cas des "densités".
ce qu'il faut retenir Par ordre de formalisation croissante, distinguons trois types de définitions.
- Les définitions usuelles (celles d’un dictionnaire) relèvent en général des situations.
- En physique, et plus généralement dans les activités de modélisation, il est commode de donner un nom à un ensemble de situations relevant d’un modèle donné.
- Les définitions au sens mathématique, elles relèvent d’une théorie associée à un modèle donné. Elles sont plus précises que les précédentes et permettent le raisonnement déductif. Elles doivent donner une condition nécessaire et suffisante pour désigner les objets mathématiques qui possèdent la propriété énoncée.

Ainsi, la notion de grandeur extensive ne relève pas du domaine mathématique, mais de la relation situation-modèle, et l’on peut donner la définition suivante, qui semble contenir les cas usuels :

définition Une grandeur est extensive s’il existe une mesure et un champ (scalaire, vectoriel ou plus généralement tensoriel), tel que l’intégrale de ce champ pour cette mesure soit un modèle adéquat pour représenter cette grandeur.

Pour un ingénieur, le (seul ?) choix de mesure qui s’impose est celui de la mesure volumique (longueur, aire, volume) canonique de l’espace.

Pour un physicien, cela peut être la mesure canonique d’un milieu continu, ou plus généralement la mesure canonique d’une variété pseudo-riemannienne (en relativité).

Par contre, les sens et usages du terme "grandeur intensive" sont variés, et l’énoncé est, comme on l’a vu, formulé en négation d’une propriété relativement imprécise, de sorte qu’il est difficile de proposer une "définition" qui soit véritablement une propriété caractéristique.