Courbes et surfaces - epiphys

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Courbes et surfaces

Description :

Quelques références à propos des courbes et surfaces.

Intention pédagogique :

Mettre en perspective divers concepts désignés sous le même vocable de "courbe ou "surface".


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

0 h 15

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique
Courbes et surfaces : il s’agit bien de deux termes utilisés constamment en mathématiques et par les utilisateurs de cette science, avec une liste impressionnante de sens différents.

Il serait plus facile de tenter une classification si ces diverses significations étaient emboitées par degré de généralité croissante par exemple, mais il n’en est rien.

Sans aucune prétention à l’exhaustivité, donnons quelques repères basés sur les structures dans lesquelles ces objets interviennent.

discussion
Commençons par les trois étapes compatibles avec le niveau L1 à L3, et qui correspondent au niveau de généralité auxquels sont énoncés les propriétés dans EPIPHYS.

L’étape 1 concerne les arcs et nappes paramétrés.
Les arcs et nappes dont tous les points sont réguliers sont les plus fréquemment utilisés mais n’ont pas de nom usuel. Appelons cela des "morceaux" de courbes ou surfaces. Ce sont des cas particuliers des objets étudiés dans les deux étapes suivantes.
En général, c’est dans ce cadre de l’étape 1 que l’on développe le calcul différentiel et intégral au niveau L1, L2, aller plus loin oblige à utiliser des propriétés de "recollement". Dans les cas les plus simples, de telles propriétés sont utilisées implicitement. Ainsi, le flus d’un champ de vecteurs à travers une sphère est la somme des flux à travers deux demi-sphères.

L’étape 2 concerne les ensembles de niveau de la forme f(x,y)=0 ou f(x,y,z)=g(x,y,z)=0 ou f(x,y,z)=0, en se limitant aux points réguliers.
C’est l’objet des articles Courbes implicites en dimension 2, Courbes implicites en dimension 3, Surfaces implicites en dimension 3, où l’on a prouvé que ces ensembles étaient localement des arcs réguliers ou nappes régulières.

L’étape 3 concerne les ensembles pour lesquels l’étape 2 s’applique dans un disque ouvert ou une boule ouverte au voisinage de chaque point. Il s’agit des "sous-variétés" de dimension 1 ou 2 dans le plan ou l’espace.
Les parties ouvertes du plan ou de l’espace sont aussi des "sous-variétés", les paramétrisations locales sont définies dans l’article Cartographie.
Pour cette étape 3, on pourra consulter
Introduction à la géométrie différentielle, P. Aimé, Ellipses, 1999.

situation-problématique
Les "sous variétés" d’un espace affine sont des cas particuliers de "variétés différentielles".
Qu’entend-on par là ?
discussion
D’une part, il apparait des situations où l’ensemble étudié n’est pas à priori plongé dans un espace affine. Un exemple simple est fourni par les espaces projectifs. Voir par exemple le cas de la droite projective réelle Cartographie.

D’autre part, il n’y a aucune raison de se limiter aux dimensions 1 et 2. Ainsi, le groupe des configurations d’un solide (groupe des déplacements de l’espace) est une "variété" de dimension 6.
On pourra consulter l’ouvrage suivant, où les concepts de la géométrie des variétés sont exposés en même temps que leur utilisation en Mécanique.
Géométrie différentielle et Mécanique, P. Aimé, Ellipses, 2005.
Et un grand classique : Géométrie Différentielle, M. Berger et B. Gostiaux, P.U.F.

situation-problématique
Existe-t-il d’autres généralisations, et pour quoi faire ?
discussion
Les singularités sont évitées dans l’étude des variétés. Une étude générale est d’un niveau plus élevé, mais pour les ensembles "algébriques", c’est à dire lorsque les fonctions implicites sont des polynômes, cela constitue une bonne motivation pour entrer dans la "géométrie algébrique".
A ce sujet, on pourra consulter les ouvrages suivants, le premier est plus centré sur les courbes algébriques, le deuxième donne un point de vue plus large sur les urilisations de la géométrie algébrique en théorie des nombres, le tout étant inclus dans le cadre des anneaux commutatifs.
- Algebraic curves, W. Fulton, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1969.
- Algèbre commutative, R.Goblot, Masson, 1996.

Si l’on abandonne l’hypothèse de différentiabilité pour les changements de cartes, ne retenant que la continuité, on est dans le cadre des "variétés algébriques".

En dimension 1, on est dans la théorie des fractales. Consulter par exemple Courbes et dimension fractale, C. Tricot, Springer, 1999.