Ensembles de niveau d'un champ scalaire - epiphys

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Ensembles de niveau d’un champ scalaire

Description :

Présentation de quelques cas de figures pour des ensembles de la forme f(x,y)=0.

Intention pédagogique :

Formuler des propriétés nécessitant une démonstration.
Niveau : L2
Temps d'apprentissage conseillé :

0 h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
Nous poursuivons l’exploration des ensembles de niveau F(M)=0 d’un champ scalaire F différentiable en se limitant ici à deux variables réelles.
Dans l’article Points réguliers d’un champ scalaire, on a mis en évidence le besoin de mettre à part les points M=(x,y) en lesquels le gradient de F ne s’annule pas (les points réguliers).
Cette précaution n’est pas inutile, un célèbre théorème dû à Whitney affirme que toute partie fermée (du plan dans le cas envisagé ici) peut être mise sous la forme F(M)=0, autrement dit si l’on projette de l’encre sur un mur, l’ensemble des taches est un ensemble de niveau d’un champ scalaire !, ce qui nous conduit loin des "courbes" habituelles.
Une démonstration de ce théorème de Whitney est proposée dans l’article Courbes et surfaces.

situation-problématique
Quelques exemples de "courbes implicites" sont donnés ci-dessous.
Les points non réguliers sont marqués.
Pour les premiers, une liste de quelques questions qui se posent est proposée.
Pour les suivants, le lecteur (observateur) est invité à formuler ses propres questions.
Les articles suivants apporteront des réponses d’ordre méthodologique puis théorique.
discussion
Courbe 1

Est-ce un arc régulier, paramétrable par y ?

Les branches infinies ont-elles des asymptotes ?

Combien y a-t-il d’inflexions ?

Courbe 2

Quel est le point non régulier, est- ce un point double ?

La courbe est-elle connexe, ou réunion de deux arcs dont l’un est une droite ?

Courbe 3

Courbe 4

Courbe 5 implicit5.jpg

Courbe 6

Courbe 7

Courbe 8

Courbe 9

Courbe 10

Courbe 11

pour aller plus loin Courbes implicites en dimension 2