introduction
Une équation différentielle linéaire scalaire, à coefficients constants, est de la forme

où

sont des réels (ou complexes) donnés, et

une fonction continue donnée, avec les conditions de Cauchy

,

,

sera supposée causale.
Par la méthode indiquée dans l’article
Transfert, on s’intéresse aux solutions causales, à valeurs complexes. Mais l’unicité d’une solution maximale de ce problème de Cauchy permet d’affirmer que la solution obtenue

est en réalité solution dans le plus grand intervalle contenant l’origine, dans lequel

est continue.
Rappelons la formule obtenue dans cet article :

énoncé
Exemple 1.
Résoudre

La solution maximale

est définie sur

, et la transformée de Laplace de sa restriction à

est telle que

La formule

, et l’injectivité de

permettent de conclure que la solution cherchée est

énoncé
Exemple 2.

est un réel donné, résoudre

La solution maximale

est définie sur

, et la transformée de Laplace de sa restriction à

est telle que

Si

est différent de

,

Le tableau des transformées de Laplace usuelles donne l’expression de la solution

Si

,
Il en résulte que

.
De plus,
D’où l’intégrale
