Application à certaines équations différentielles - epiphys

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Application à certaines équations différentielles

Description :

Exemples d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2, à coefficients constants, résolues avec la transformation de Laplace.

Intention pédagogique :

Mettre en oeuvre les propriétés de la transformation de Laplace pour résoudre quelques équations différentielles.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

0h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
Une équation différentielle linéaire scalaire, à coefficients constants, est de la forme

f''+af'+bf=g(t)

a,b sont des réels (ou complexes) donnés, et g une fonction continue donnée, avec les conditions de Cauchy f(0_+ )=x_0, f'(0_+ )=y_0, g sera supposée causale.
Par la méthode indiquée dans l’article Transfert, on s’intéresse aux solutions causales, à valeurs complexes. Mais l’unicité d’une solution maximale de ce problème de Cauchy permet d’affirmer que la solution obtenue f est en réalité solution dans le plus grand intervalle contenant l’origine, dans lequel g est continue.
Rappelons la formule obtenue dans cet article :

 \mathcal{L}(f)(z) = \frac {(z+a) x_0 + y_0 +\mathcal{L}(g)(z) }{z^2 +a z+b}


énoncé
Exemple 1.
Résoudre

f''+6f'+9f=3 e^{3t}, \; x_0 = y_0 =0.

énoncé
Exemple 2.
\omega est un réel donné, résoudre

f''+\omega^2 f=2 \sin t, \; x_0 = y_0 =0.