Transfert - epiphys

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Transfert

Description :

Enoncés et démonstrations des propriétés classiques de transfert.

Intention pédagogique :

En vue des applications, les énoncés sont formulés à un niveau de généralité compréhensible au niveau L1.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

situation-problématique
Les définitions et propriétés de l’article Transformer une fonction causale sont supposées connues.
Comme on l’a vu dans l’article introductif Transformer pour quoi faire ?, il importe de connaitre la relation dite de "transfert" entre les transformées de Laplace F d’une fonction f et sa dérivée, ou sa primitive etc.
On précise ici la liste des transferts usuels, en restant au niveau L1 en ce qui concerne les énoncés.
Les démonstrations sont données dans le fichier joint demo27.pdf. Elles sont de niveau L2 à deux exceptions près, sachant qu’elles utilisent les théorèmes de convergence de l’intégrale de Lebesgue.
discussion
Rappelons qu’une fonction causale est toute fonction f:\mathbb R \to \mathbb {C}, nulle sur l’intervalle ] - \infty , 0[, et continue par morceaux, donc Riemann-intégrable sur tout segment, telle que \sigma (f) < + \infty.
propriété Proposition 1.
  1. Dérivation. Supposons que f est une fonction C^{\infty} sur [0,+\infty [, causale ainsi que toutes ses dérivées. Alors pour z appartenant à l’intersection des demi-plans ouverts \Pi (\sigma(f^k ) ), k=0,...,N, on a

     \mathcal{L}( \frac{d^N f}{dt^N})(z)=

    z^{N} F(z)  - z^{N-1} f(0_+)-z^{N-2} f'(0_+)-...-f^{(N-1)}(0_+)

  2. Intégration. f est supposée causale et continue sur [0,+\infty [. Dans le demi-plan ouvert Re z > max(0,\sigma (f)), g

     \mathcal{L} (\int _0 ^t f(u)du) = \frac{\mathcal{L}(f)(z)}{z}

  3. Retard. Dans le demi-plan ouverts \Pi (\sigma (f)),

     \mathcal{L}( f(t-T)) (z)= e^{-zT} \mathcal{L}(f)(z)

  4. Similitude. Dans le demi-plan ouverts \Pi (\sigma (f)), k étant un réel >0,

     \mathcal{L}(f(k t)) (z)= \frac {1}{k} \mathcal{L}(f)(\frac {z}{k})

  5. Amortissement. z_0 est un nombre complexe donné. Dans le demi-plan ouverts \Pi (\sigma (f)),

     \mathcal{L}( e^{-z_0 t}f(t)) (z)= \mathcal{L}(f)(z+z_0)

  6. Valeur finale.
    a) Supposons que f est causale et intégrable sur \mathbb R. Alors, \sigma (f) \le 0 et

     \lim_{z\rightarrow 0, Re z >0} \mathcal{L}(f)(z) =  \int _{[0,+\infty [}f


    b) Supposons que f est causale avec \sigma (f) = 0, que f est C^1 sur [0,+\infty [, que f' est causale et intégrable sur [0,+\infty [.
    Alors, \lim_{t\rightarrow + \infty}f(t) existe et

     \lim_{z\rightarrow 0, Re z >0} z \mathcal{L}(f)(z) = \lim_{t\rightarrow + \infty}f(t).


    Si f est intégrable, la limite précédente est nulle.
  7. Valeur initiale.
    a) Supposons que f est causale. Alors,

     \lim_{|z|\rightarrow + \infty, | Arg z | < \frac {\pi}{2}} \mathcal{L}(f)(z) =  0.


    b) Si, de plus, f est C^1 sur [0,+\infty [, que f' est causale, alors

     \lim_{|z|\rightarrow + \infty, | Arg z | < \frac {\pi}{2}} z \mathcal{L}(f)(z) =  f(0_+ ).

  8. Convolution Si f et g sont deux fonctions causales, alors dans le demi-plan \Pi (\sigma(f)) \bigcap \Pi (\sigma(g)),

      \mathcal{L} (f _\mbox{*}} g)(z) =  \mathcal{L}(f )(z)  \; \mathcal{L}(g)(z)

  9. Injectivité
    Dans l’espace vectoriel des fonctions causales continues, l’application f\mapsto \mathcal{L}(f ) est injective.
erreur fréquente
Le produit de convolution de deux fonctions causales f et g est défini, pour t \le 0 par la relation

 (f _\mbox{*}} g)(t) = \int _{[0,+\infty [}f(t-u) g(u) du

Rappelons qu’il est commutatif.
Il importe ici de remarquer que, les fonctions étant nulles pour t<0, l’intégrale se réduit au segment [0,t], de sorte que

 (f _\mbox{*}} g)(t) = \int _{[0,t ]}f(t-u) g(u) du

propriété Proposition 2
La transformée de Laplace \mathcal{L}(f )(z) d’une fonction causale f est continue dans le demi-plan \Pi (\sigma (f)).
Si z=x est réel, l’application x \mapsto \mathcal{L}(f )(x) est dérivable dans le demi-plan \Pi (\sigma (f)), et

 \frac{d}{dx}\mathcal{L}(f )(x)=\mathcal{L}(-t f )(x)

.
Pour ceux qui connaissent la notion de fonction holomorphe Fonctions holomorphes, cette propriété de dérivabilité s’étend au cas où la variable z est complexe.

Corollaire
Si z_0 est un nombre complexe, et n un entier naturel, alors

 \mathcal{L}(t^n e^{z_0 t})(z) = \frac {n!}{(z-z_0 )^{n+1}}

avec \sigma (t^n e^{z_0 t})=Re (z_0 ).

Démonstration : voir le fichier joint

PDF - 82.5 ko
demo27.pdf

.

exemple
Si l’on veut utiliser la transformation de Laplace pour résoudre une équation différentielle linéaire scalaire, à coefficients constants, de la forme

f''+af'+bf=g(t)

a,b sont des réels (ou complexes) donnés, et g une fonction causale continue donnée, avec les conditions de Cauchy f(0_+ )=x_0, f'(0_+ )=y_0, on résout l’équation transformée par \mathcal {L} :

 (z^2 +a z+b) \mathcal{L}(f)(z) - (z+a) x_0 - y_0 = \mathcal{L}(g)(z)


On s’intéresse donc aux solutions causales, à valeurs complexes. Mais l’unicité d’une solution maximale de ce problème de Cauchy permet d’affirmer que la solution obtenue f est en réalité solution dans le plus grand intervalle contenant l’origine, dans lequel g est continue.
La restriction de la solution f à l’intervalle [0,+\infty [ est telle que

 \mathcal{L}(f)(z) = \frac {(z+a) x_0 + y_0 +\mathcal{L}(g)(z) }{z^2 +a z+b}


Sur cette expression, on retrouve la solution comme somme d’une solution de l’équation sans second membre et d’une solution de l’équation complète.
On regarde ensuite si l’on reconnait dans cette expression la transformée de Laplace d’une fonction connue, en utilisant le tableau des transformées usuelles et, s’il y a lieu, les propositions 1 et 2 ci-dessus (en particulier la convolution).
question remue-méninges Quelle est la propriété qui permet d’affirmer qu’il s’agit bien de la solution ?
pour aller plus loin
Diverses situations particulières sont proposées dans l’article Application à certaines équations différentielles.
Une étude plus générale est en cours de rédaction.