Visions lagrangienne, eulérienne - epiphys

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Visions lagrangienne, eulérienne

Description :

Introduction à l’interprétation lagrangienne et eulérienne d’un champ.

Intention pédagogique :

Il s’agit de préparer les définitions abstraites posées dans l’article interprétation lagrangienne et eulérienne d’un champ, vitesses.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

20 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Pour un mouvement \phi d’un milieu continu B, on a dit Phénomènes évolutifs et mouvements que la mesure d’une grandeur sur le système à chaque instant n’est pas définie sur un produit du type I \times B mais sur la réunion des ensembles

 B(t)= \phi (t) (B)

transformées du système dans sa configuration initiale B.

Ceci doit être précisé. Que dire dans le cas d’un cylindre qui tourne autour de son axe, ou d’une membrane élastique plane ayant la forme d’un disque à bord fixe ?

discussion Dans les deux exemples que l’on vient de citer, la réunion des ensembles  B(t) est égale à B, puisque chacun est égal à B.

Pour tenir compte de toutes les situations, on définira les champs sur un ensemble qui peut être imaginé comme la collection des photographies du système, chaque photo étant repérée par l’instant où elle a été prise.

Un champ sera défini non pas sur la réunion des ensembles  B(t), mais sur la réunion des ensembles \{ t \} \times \phi (t) (B) .

Ainsi, on écrira f(t,m) pour désigner la valeur d’un champ f à l’instant t, au point m \in  \phi (t) (B).

f est défini sur l’ensemble réunion des \{ t \} \times \phi (t) (B) .

f est la vision "eulérienne" du champ.

situation-problématique Peut-on faire plus simple en revenant à un champ dont l’ensemble de départ soit un "vrai" produit d’un intervalle de temps par une portion d’espace ?
discussion Comme on l’a vu dans l’article Phénomènes évolutifs et mouvements, sous réserve que les transformations \phi (t) soient des difféomorphismes, on peut remplacer f(t,m) par F(t,M)M est la particule qui est en m à l’instant t, en posant

 F(t,M)=f(t,m)

La notation du champ est modifiée car f et F n’ont pas le même ensemble de définition. Le champ F est défini sur I \times B.

F est la vision "lagrangienne" du champ.

Pour revoir la notion de difféomorphisme, on pourra se reporter à l’article correspondant du concept Différentielle.

question remue-méninges Quelle est précisément la relation entre f et F ?
pour aller plus loin Mouvements et positions