Phénomènes évolutifs et mouvements - epiphys

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Phénomènes évolutifs et mouvements

Description :

Les questions à se poser lorsqu’on effectue des mesures sur un système dépendant du temps.

Intention pédagogique :

Motiver les hypothèses à la base de la mécanique des milieux continus, en ce qui concerne la notion de mouvement et les champs définis sur un système en mouvement.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Envisageons les quatre situations suivantes :

- (S1) Une face d’une cloison est placée à une température T, l’autre face est placée à une température T’ > T, ces températures sont maintenues constantes. Un réseau de capteurs placés à l’intérieur de la cloison mesure la température aux points où ils sont placés.

- (S2) Un réseau de capteurs aériens fixes prend des mesures de concentration de certains composants de l’atmosphère.

- (S3) Dans une conduite d’eau, un réseau de capteurs mesure la pression en divers points (fixes).

- (S4) Un miroir est représenté par un disque plan. Au cours du temps, il se déforme sous divers actions mécaniques et thermiques. Par un procédé optique, on mesure un paramètre scalaire lié à la déformation (par exemple la courbure de Gauss) en des points du miroir, répartis sur la surface.

- (S5) Un bassin est rempli d’un fluide au repos, un objet indéformable se déplace en restant immergé. Le mouvement de ce solide est prescrit. Des capteurs fixes (par rapport au bassin) mesurent la vitesse des particules du fluide passant par les points où ils sont placés.

Dans ces 5 situations, les mesures sont réalisées simultanément, à des intervalles de temps donnés, en des points donnés.

On suppose qu’en outre on dispose d’un modèle mathématique pour chaque grandeur mesurée, de sorte que les mesures permettent d’attribuer des se puede comprar viagra sin receta valeurs à certains paramètres inconnus, ou que l’on procède par interpolation, pour qu’au total, tout se passe comme si l’on avait effectué une mesure en chaque point dans un domaine donné de l’espace.

Intéressons nous aux questions suivantes :

- Quelle est la nature mathématique de la grandeur mesurée ?
- Quel est l’ensemble de définition de la grandeur mesurée ?
- La réponse aux deux questions précédentes ne rend pas compte d’une différence pourtant essentielle de nature physique entre ces situations. Laquelle ?

discussion
- Dans tous les cas envisagés, la grandeur est un champ scalaire dépendant du temps. L’ensemble d’arrivée est la droite réelle.

- En mathématiques, et pour donner un sens aux calculs, une fonction (ici, le champ) se doit d’avoir un ensemble de définition.

L’ensemble de définition du champ est-il si évident qu’on puisse laisser de côté le besoin de l’expliciter ?

Pour (S1), les deux variables (t,m) du champ sont indépendantes. t décrit un intervalle de temps, et m appartient à un parallélépipède représentant la cloison. Notons {B} cet ensemble de points de l’espace.

Pour (S2) et (S3), on peut considérer qu’il en est de même, {B} est l’ensemble des points de l’espace pour (S2) et l’intérieur de la conduite pour (S3).

Jusque là, pas de complications, le champ est défini sur le produit cartésien I \times {B}

Pour (S4), la surface varie avec le temps, la mesure n’est plus définie sur un produit du type I \times {B} mais sur la réunion des surfaces  {B}(t), transformées de la surface initiale {B}. Cette particularité de la situation 4 par rapport aux situations précédentes vient singulièrement compliquer la modélisation, par exemple si l’on veut calculer la différentielle de la mesure à un instant tt en un point m de l’espace.

De même, pour (S5), le milieu B(t) est le bassin privé des points occupés par le solide tel qu’il est à l’instant t.

Rappelons qu’une dérivée partielle s’obtient en bloquant toutes les variables sauf une. Comment peut-on ici bloquer m et faire varier t si ces variables ne sont pas indépendantes ?

ce qu'il faut retenir

- Une première distinction essentielle pour la suite est la suivante : Pour (S1), il n’y a pas de mouvement. Si l’on mesure une grandeur scalaire f(t,m) en divers points, à divers instants, les variables m et t sont totalement indépendantes. On est dans la situation ordinaire du calcul différentiel à deux variables (ou à quatre variables réelles si l’on a fixé un repère de l’espace).

Pour (S2,3,4,5), on est dans la modélisation d’un mouvement, c’est à dire un ensemble de transformations \phi (t) (une à chaque instant), qui transforme un ensemble B de particules en \phi (t) (B).

- Deux cas sont alors à distinguer,

ou bien (situations (S2), (S3)) \phi (t) (B) = B, le champ scalaire f est alors défini sur le produit I \times B.

ou bien (situations (S4), (S5)), les ensembles \phi (t) (B) peuvent être différents en fonction de l’instant considéré.

Dans chacun de ces deux cas cependant, le point m à l’instant t n’est pas seulement un point de l’espace, c’est la position d’une particule M de B à l’instant t.

Evidemment, pour "remonter" du point m=\phi (t) (M) à la particule M, il faut postuler que les transformations \phi (t) ont une propriété.

question remue-méninges Laquelle ?

Ces observations de bon sens ne sont pas anodines, elle vont fournir la solution au problème de dérivation posé par les situations (S4,5) (c’est l’objet de l’article consacré à la dérivée particulaire dans le même concept, mais il reste bien des précisions à apporter avant d’aborder cela), c’est aussi le fil conducteur de toute l’étude du concept de mouvement d’un milieu continu.