Un calcul de champ de vitesses - epiphys

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Un calcul de champ de vitesses

Description :

Prouver qu’une fonction donnée définit un mouvement de milieu continu et donner l’expression lagrangienne et eulérienne du champ des vitesses.

Intention pédagogique :

Choisir la méthode la plus simple pour prouver qu’une application définit un mouvement de milieu continu, s’il y a lieu, utiliser le théorème d’inversion. Appliquer la définition des vitesses lagrangiennes et eulériennes.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


méthode

Rappelons les notations de l’article Interprétation lagrangienne et eulérienne d’un champ, vitesses.

- Le modèle du milieu est une partie B de l’espace, le mouvement du milieu continu est une application \phi de I \times B dans l’espace E, telle que, à chaque instant t \in I, l’application partielle \phi_t est un C^1-difféomorphisme de B sur \phi_t (B).

- A chaque instant d’un mouvement, le vecteur

V(t,M) = \frac {\partial \phi}{\partial t}(t,M) \in E

est la vitesse (lagrangienne) de la particule M.

- L’interprétation eulérienne v du champ V est la vitesse eulérienne. {v= {V} \circ (\overline {\phi})^{-1}, défini sur B^\phi, à valeurs dans E, en notation abrégée,

 v(t,m) = V(t,M) , \: m=\phi (t,M)

énoncé L’espace E est muni d’un repère orthonormal qui identifie les points à la liste de leurs coordonnées. M=(X,Y,Z), m=(x,y,z).

Dans chacune des trois situations suivantes, vérifier que l’on définit un mouvement de milieu continu, et donner l’expression lagrangienne et eulérienne du champ des vitesses.
- dim E=2, B=E,

 \phi (t,M)= (Xcht+Ysht,Xsht+Ycht)


- dim E=2, B=E ,

 \psi (t,M)= (X,X^2 t^2 +Y)


- dim E=2, E est identifié au corps des nombres complexes, B est le demi-plan Re(Z)>0, Z=X+iY.

 \begin{eqnarray}
z(t)=\lambda (t,Z) &= & | Z | \: exp[ i (\frac {t}{| Z |^2} + Arctan (\frac {Y}{X}))] \\
 &=  & | Z | \: exp[ i (\frac {t}{| Z |^2} + Arg(Z))]
\end{eqnarray}