Fonctions holomorphes - epiphys

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Fonctions holomorphes

Description :

R-linéarité et C-linéarité, fonctions holomorphes, conditions de Cauchy-Riemann.

Intention pédagogique :

Situer la notion de C-différentiabilité par rapport à la R-différentiabilité.


Niveau :
L3
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre-Emmanuel BOURNET Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Partons de quelques faits simples.
- Le corps des nombres complexes est aussi un espace vectoriel, de dimension 1 sur lui même, et de dimension 2 sur le corps des réels.
- A toute application

f:z=x+iy \mapsto f(z)

définie sur une partie \Omega de \textbf {C}, à valeurs dans \textbf {C}, on associe une application

\tilde {f}:(x,y) \mapsto \tilde {f} (x,y)=(Re f (x+iy), Im f(x+iy))

définie sur \tilde {\Omega} = \{ (x,y) \in \textbf {R}^2 \ / x+iy \in \Omega \}, à valeurs dans \textbf {R}^2.
- Inversement, à toute application

g:(x,y) \mapsto g(x,y)=(g_1 (x,y),g_2 (x,y))

définie sur une partie U de \textbf {R}^2, à valeurs dans \textbf {R}^2, on assoce une application

g^*:z=x+iy \mapsto g^* (z)=g_1 (x,y)+i g_2 (x,y)

définie sur U^* = \{ x+iy \in \textbf {C} \ / (x,y) \in U \}, à valeurs dans \textbf {C}.
- Il est clair que \Omega est un ouvert de \textbf {C} si et seulement si \tilde {\Omega} st un ouvert de \textbf {R}^2.

situation-problématique Pour une application f:\textbf {C} \to \textbf {C}, que signifient les propriétés de

\textbf {C}-linéarité et de \textbf {R}-linéarité ?

discussion
- Si f est \textbf {C}-linéaire, alors f(z)=zf(1), et inversement les applications de la forme f(z)=Az, avec A \in \textbf {C} sont \textbf {C}-linéaires.

- Si f est \textbf {R}-linéaire, alors f(z)=f(x+iy)=xf(1)+yf(i), et inversement les applications de la forme

f(z)=f(x+iy)=A Re(z)+B Im(z)=xA+yB

avec A,B \in \textbf {C} sont \textbf {R}-linéaires.

question remue-méninges Dans les deux cas, l’application \tilde {f} est linéaire. Quelle est sa matrice dans la base canonique de \textbf {R}^2 ?
ce qu'il faut retenir Dans \textbf {C}, les applications \textbf {C}-linéaires correspondent aux similitudes directes du plan \textbf {R}^2, et les applications \textbf {R}-linéaires sont les applications linéaires du plan \textbf {R}^2.
situation-problématique On se souvient que, pour une fonction d’une variable réelle, une dérivée en un point est une limite du taux de variation entre ce point et un point voisin.

Il n’y a donc pas d’obstacle à transposer cela au cas d’une variable complexe.

Mais la dérivabilité équivaut à l’existence d’une application linéaire tangente (appelée la différentielle au point considéré), c’est la formule de Taylor au premier ordre.

Pour le cas complexe, obtient-on la \textbf {C}-linéarité ou la \textbf {R}-linéarité de l’application tangente ?

discussion Commençons par une définition.
définition Etant donné une application

f:z=x+iy \mapsto f(z)

définie sur une partie ouverte \Omega de \textbf {C}, à valeurs dans \textbf {C}, et z_0 \in \Omega, l’application f est holomorphe ou \textbf {C}-dérivable au point z_0 si le rapport \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} admet une limite notée f'(z_0 ) ou \frac {df}{dz} (z_0) lorsque z tend vers z_0.

le nombre complexe f'(z_0 ) est la dérivée de f au point z_0.

Ceci sous-entend que z tend vers z_0 en suivant un chemin quelconque dans \Omega (d’où la nécessité de supposer que z_0 est un point intérieur à \Omega.

Il revient au même d’écrire que

f(z_0 +h)=f(z_0 )+h f'(z_0 )+o(| h |)

c’est donc de \textbf {C}-linéarité qu’il s’agit.

h=z-z_0 est complexe.

erreur fréquente Ainsi, on vérifiera facilement que les fonctions z \mapsto \overline z et z \mapsto {| z | }^2 sont dérivables en tant que fonctions de \textbf {R}^2 dans \textbf {R}^2, mais ne sont pas holomorphes à l’origine.

En résumé, on a le résultat suivant :

propriété Avec les hypothèses de la définition, en écrivant z_0 =x_0 +i y_0, les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. f est holomorphe en z_0, de dérivée f'(z_0 )
  2. Si z_0 +h \in \Omega, alors

    f(z_0 +h)=f(z_0 )+h f'(z_0 )+o(| h |)

  3. \tilde f est différentiable en (x_0 , y_0) et sa matrice jacobienne est une matrice de similitude directe, égale à

     \left (  \begin{array}{cc} {Re f'(z_0)}&  {-Im f'(z_0)} & {Im f'(z_0)}& {Re f'(z_0)}  \end{array} \right ).

    (Conditions de Cauchy-Riemann).

Il en résulte que les propriétés concernant la dérivabilité d’une somme, d’un produit, d’un quotient d’une composée de fonctions holomorphes, ainsi que les formules de dérivation associées sont les mêmes que pour les fonctions dérivables d’une variable réelle.

énoncé Rédiger une démonstration de la proposition précédente.