Interprétation lagrangienne et eulérienne d`un champ, vitesses - epiphys

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Interprétation lagrangienne et eulérienne d`un champ, vitesses

Description :

Définition de l’interprétation eulérienne ou lagrangienne d’un champ, application au champ des vitesses.

Intention pédagogique :

Fournir un cadre général pour l’interprétation eulérienne ou lagrangienne d’un champ, et montrer le rôle de la structure (fibrée) de l’ensemble des positions.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

45 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction L’article Mouvements et positions est supposé connu.

situation-problématique Comment décrire un champ (scalaire, vectoriel, tensoriel) représentant une grandeur attachée au système au cours du mouvement ?
discussion
- Cette grandeur peut être un champ F dépendant du temps, et défini sur le produit I \times B, à valeurs dans un espace vectoriel \cal V.
F (t,M) est la valeur prise par F à l’instant t, pour la particule M.

- Cette grandeur peut être un champ f définie sur l’ensemble B^\phi = \sum_{t \in I} B_t = \bigcup_{t \in I} \; \{ t \} \times B_t des positions du système.
f(t,m) est la valeur prise par f à l’instant t, au point m=\phi (t,M), position de la particule M à cet instant.

L’intérêt est que l’application

  \overline {\phi} : I \times B \to B^\phi

définie par

\overline {\phi} (t,M) = (t,m) = (t,\phi(t,M))

est une bijection, comme on le vérifie facilement, ce qui permet de passer d’une représentation à une autre.

définition Définition 1

- Si F est donné, {f= {F} \circ (\overline {\phi})^{-1}, défini sur B^\phi, à valeurs dans \cal V, est l’interprétation eulérienne de F,
- Si f est donné, F={f \circ \overline {\phi}, défini sur I \times B, à valeurs dans \cal V, est l’interprétation lagrangienne de f,

de sorte que

 f(t,m)=F(t,M)

dans les deux cas.

On écrira f={F^{eul} et F={f^{lag}.

ce qu'il faut retenir f(t,\phi (t,M)) représente l’évolution de la grandeur représentée par F(t,M) lorsque l’on suit la particule M dans son mouvement.

Définition 2

- A chaque instant d’un mouvement, le vecteur

V(t,M) = \frac {\partial \phi}{\partial t}(t,M) \in E

est la vitesse de la particule M.
- L’interprétation eulérienne v du champ V est la vitesse eulérienne.

Il en résulte que, pour (t,m) \in B^\phi,

 v(t,m)=V(t,(\phi_{t})^{-1} (m))

exemple Exemple 1
La figure ci-dessous représente le mouvement d’un disque subissant une déformation homogène (similitude) à cinq instants différents, les trajectoires de trois particules, et les vecteurs vitesse de ces particules aux instants considérés.
Il est important de remarquer que l’on ne peut pas se passer de la structure affine du plan : les vecteurs  v(t,m)=V(t,M) appartiennent à l’espace vectoriel directeur du plan d’évolution (modèle du plan physique), alors que les flèches ont pour origine m (on devrait écrire m(t)), et pour extrémité le point translaté m+v(t,m).
Dans la figure précédente, les particules jouent le rôle de paramètre, la variable est le temps. Dans la figure suivante, le temps est un paramètre prenant quatre valeurs, et pour chacune d’elles, on représente le champ des vitesses sous son aspect eulérien.
exemple Exemple 2

Reprenons l’exemple présenté dans Mouvements et positions. Un repère orthonormal du plan E est fixé, B est un disque du plan, le mouvement est défini par

(x,y)=\phi(t,(X,Y)=(X e^{kt}, Y e^{-kt}).

question remue-méninges
Donner l’expression de V et v.
Quelle est la particularité de v ?

Représentation eulérienne du champ des vitesses dans l’ensemble B^\phi des positions : Représentation eulérienne du champ des vitesses dans l’espace d’évolution :

définition Définition 3 Le mouvement est stationnaire si le champ eulérien des vitesses est constant (indépendant du temps, ne pas confondre avec un champ uniforme), autrement dit, si

\frac {\partial v}{\partial t} = 0

quel que soit t.
C’est le cas dans l’exemple précédent.
ce qu'il faut retenir
On voit l’intérêt de la formulation eulérienne : c’est un champ de vecteurs sur la position à l’instant t.
La vitesse eulérienne en un point m de B_t est en effet un vecteur fonction du point m.
Ce n’est pas le cas de la vitesse lagrangienne, qui associe à la particule M un vecteur au point m.
pour aller plus loin
- Pour d’autres exemples, voir Calcul des champs de vitesses.
- La question : comment différentier un champ attaché au système en mouvement ? n’a pas été abordée ici. Pour le cas particulier de la dérivée particulaire d’un champ, on se reportera à l’article Dérivée particulaire d’un champ eulérien, accélérations.

Plus généralement, ceci est l’objet du concept de Dérivée particulaire d’une mesure (Article non publié).
- Pour les questions relevant des systèmes dynamiques, appliqués aux mouvements, on se reportera au concept Lignes et Tubes de courant.