Bilan thermique dans un mur infini

énoncé On considère un mur infini d’épaisseur e = 1 m. Le mur est supposé homogène. Les propriétés physiques du matériau constituant le mur sont constantes. Elle sont données par :

Les deux faces du mur sont en contact avec des milieux infinis maintenus à température constante et uniforme. Chacune des faces reste à la température du milieu avec lequel elle est en contact. On s’intéresse au système formé par le volume V délimité par deux surfaces, et , d’aire 10 m² (figure). A l’intérieur du mur, on note la présence d’une densité volumique de puissance , uniforme, telle que .

A un instant donné t, la distribution de température dans le mur est de la forme :

La température T est en degrés Celsius et x est en mètres. Les valeurs des paramètres a, b et c sont les suivantes :

1 Quelles propriétés physiques représentent et  ?

2 Sur la figure ci-dessus, décrire le champ de température à l’instant t dans le mur en donnant par exemple quelques isothermes. Préciser comment s’effectuent les transferts de chaleur par conduction au sein du mur en représentant en quelques points de la même figure le vecteur densité de courant thermique (densité de flux de chaleur) correspondant sachant que est donné par la loi de Fourier . Jouez sur la longueur des vecteurs pour mettre qualitativement en évidence les régions où la densité de flux pourrait être plus intense.

3 Calculer le flux net d’énergie Φ traversant l’enveloppe de V à l’instant t. Quelle est l’unité de Φ ?

4 A partir d’un bilan intégral, calculer le taux de variation instantané (à la date t) de la quantité d’ énergie contenue à l’intérieur du volume V.

5 Ecrire l’équation locale de bilan d’énergie pour un volume élémentaire dV. Simplifier cette équation compte tenu des hypothèses du problème. Déduire de cette équation le taux de variation temporel de la température en x = 0.025 m et x = 0.5 m.