Dérivée particulaire d'un champ eulérien, accélérations - epiphys

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Dérivée particulaire d’un champ eulérien, accélérations

Description :

Définition de la dérivée particulaire d’un champ, cas des accélérations.

Intention pédagogique :

Comprendre à la fois la formalisation de la dérivée particulaire et son sens physique, disposer de formules de calcul effectif en coordonnées cartésiennes ou en coordonées locales, déduites de l’expression intrinsèque de la dérivée particulaire.


Niveau :
L3
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Nous utilisons les notations et les résultats de l’article Interprétation lagrangienne et eulérienne d’un champ, vitesse.

situation-problématique
- Pour définir la notion d’accélération d’un mouvement \phi de milieu continu, une première idée est de fixer une particule M, puis dériver par rapport à t l’application partielle t \mapsto V_M (t).

- Cependant, il est fréquent en mécanique de ne connaitre que l’expression eulérienne v(t,m) du champ des vitesses.

Dans ce cas, fixer m pour dériver par rapport à la variable t n’a pas de sens physique : par le point m fixé de l’espace il passera au plus une particule à chaque instant. En général, si m est fixé, les vecteurs v(t,m) et v(t+ \Delta t , m) n’ont pas de raison de représenter deux états des vitesses d’une même particule, donc la dérivée partielle \frac{\partial v}{\partial t} (t,m) ne saurait représenter une accélération.

Plus généralement, traitons cette question de la dérivation temporelle pour un champ scalaire ou vectoriel f(t,m) donné sur l’ensemble B^{\phi} des configurations, avec les notations de l’article Interprétation lagrangienne et eulérienne d’un champ, vitesse.

discussion
- Rappelons que le mouvement \phi définit l’application

  \overline {\phi} : I \times B \to B^\phi

par

\overline {\phi} (t,M) = (t,m) = (t,\phi(t,M)),


- Ceci permet d’associer à tout champ f défini sur chaque configuration (par exemple le champ eulérien des vitesses v), à valeurs dans un espace vectoriel \cal V, son interprétation lagrangienne F={f \circ \overline {\phi}, défini sur I \times B, à valeurs dans \cal V,
- Inversement, si F est donné, {f= {F} \circ (\overline {\phi})^{-1}, défini sur B^\phi, à valeurs dans \cal V, est l’interprétation eulérienne de F,
- On écrit f={F^{eul} et F={f^{lag}.
ce qu'il faut retenir L’égalité F(t,M)=f(t,\phi (t,M)) porte sur deux formulations de l’évolution d’une même grandeur physique, lorsque l’on suit la particule M dans son mouvement.
définition Définition 1

On appelle dérivée particulaire (material derivative) de F : I \times B \to \cal V, l’interprétation eulérienne de l’application \frac {\partial F}{\partial t} : I \times B \to \cal V.

On écrit

 \frac {Df}{Dt} (t,\phi (t,M))=\frac {Df}{Dt} (t,m)= \frac {\partial F}{\partial t} (t,M)

ce qui signifie \frac {Df}{Dt}= ({\frac {\partial F}{\partial t}) ^{eul}

exemple Le champ eulérien des vitesses v est la dérivée particulaire du mouvement \phi.
définition Définition 2

En particulier, A(t,M)=\frac {\partial V}{\partial t} (t,M) est l’accélération de la particule M à l’instant t, et a={A^{eul} est le champ des accélérations (eulériennes), de sorte que

a(t,m)=\frac {Dv}{Dt}(t,m)

erreur fréquente Dans la définition précédente, il ne faut pas oublier que m=\phi (t,M).

m n’est pas un point quelconque de l’espace, à moins que B_t =E, ou que le champ F se prolonge à tout l’espace à chaque instant.

Faute de quoi, le calcul perd toute relation avec l’évolution d’une grandeur lorsque l’on suit une particule dans son mouvement.

situation-problématique La définition étant posée, comment calculer pratiquement la dérivée particulaire d’un champ scalaire ?
discussion Cela dépend du type de données dont on dispose.

- Si l’expression de {\phi_t}^{-1} est connue, il suffit d’utiliser la définition de l’interprétation eulérienne :

 \frac {Df}{Dt} (t,m) = ({\frac {\partial F}{\partial t}) ^{eul} (t,m)

  = {\frac {\partial F}{\partial t} (t,{\phi_t}^{-1} (m)).

question remue-méninges Avec B=E, un mouvement \phi est donné par le champ eulérien des vitesses v(t,m)=(z,0,0) et la condition \phi (0,M)=M.

Déterminer le mouvement et la dérivée particulaire du champ scalaire eulérien f défini par f(t,m)=(x-tz)^2 + z^2

- Mais, comme on l’a dit plus haut, en pratique, les expressions de \phi et F sont inconnues, les seules données sont eulériennes : f et v.

Il est donc utile de disposer d’une formule de calcul directe pour \frac {Df}{Dt}.

Cette relation est une conséquence évidente de la relation suivante entre les applications partielles où la particule M est fixée :

 F_M = f \circ \overline {\phi} _M

soit

 F_M (t) = f (t, \phi _M (t))}

erreur fréquente Malheureusement, l’application du théorème de différentiation des fonctions composées dans cette relation n’a de sens que si le champ f est défini sur un produit, c’est à dire si le milieu B_t = \phi(t,B) ne dépend pas de t.

Pour la suite, désignons par (H) cette hypothèse.

En pratique, cela se produit par exemple pour un fluide ou un gaz confiné dans une enceinte fixe, ou si le champ f admet un prolongement à l’espace entier.

Ce n’est pas le cas pour un champ qui n’est défini que le long d’un fil ou d’une plaque déformables.

Dans ce type de situation, la différentielle de f s’exprime à l’aide des dérivées partielles, ce qui donne aussitôt le calcul suivant :

 \frac {\partial F}{\partial t} (t,M) = df (1, V(t,M))

et donc

propriété
Proposition
Sous l’hypothèse (H),

\frac {Df}{Dt} (t,m) = df (1, v(t,m))=\frac {\partial f}{\partial t} (t,m) + {df_t} (v(t,m)).

f_t est l’application partielle à t fixé.
propriété Corollaire 1

Si f est un champ scalaire, la relation précédente s’écrit

 \frac {Df}{Dt} =  \frac {\partial f}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text {grad}}f_t

En coordonnées cartésiennes :

\frac {Df}{Dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}

question remue-méninges Dans l’espace (B=E), un mouvement est donné par

 \phi (t,M)=(\frac {X}{2} (2+ \sin t),Y,Z)

Donner l’expression du champ (eulérien) des accélérations en utilisant l’une ou l’autre des méthodes présentées ci-dessus.

Dans un système de coordonnées locales orthonormal, on a vu Expression du gradient en coordonnées locales qu’en un point a de coordonnées locales q=(\Phi)^{-1} (a) le gradient d’un champ scalaire est donnée par

 (\overrightarrow {grad} f) (a) = \sum _{j=1}^{n} \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi\ (q) \|} \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial q_j} (q) \;\varepsilon _j (a).

D’où l’expression suivante, si v=\sum _{j=1}^{3} v_j \varepsilon _j

 \frac {Df}{Dt} =  \frac {\partial f}{\partial t}+\sum _{j=1}^{3} \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial q_j}  \; v _j

Ainsi, en coordonnées sphériques, où

  \Phi (\rho,\theta,\varphi) = (\rho \sin \theta \cos \varphi, \rho \sin \theta \sin \varphi, \rho \cos \theta)

avec v = v_{\rho} \; \varepsilon _\rho + v_{\theta}\;  \varepsilon _\theta + v_{\varphi} \; \varepsilon _\varphi , on obtient

 \frac {Df}{Dt} =  \frac {\partial f}{\partial t} + 
  \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \rho} \; v _\rho  + \frac{1}{\rho}  \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \theta}  \; v_\theta + \frac{1}{\rho \sin \theta}\frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \varphi} \; v_\varphi

situation-problématique
L’expression de l’accélération, et plus généralement de la dérivée particulaire d’un champ de vecteurs, n’est pas donnée par les formules précédentes issues du corollaire 1.
On pourrait songer à projeter le champ sur les axes d’un repère orthonormal pour appliquer le corollaire 1 à chaque projection, mais cela réduirait l’étude aux repères fixes, et la mécanique a besoin de l’accélération en coordonnées curvilignes.
Il faut donc abandonner tout recours au gradient d’un champ scalaire et revenir à la proposition, c’est à dire à la différentielle.
discussion
Supposons donc que f est un champ de vecteurs, on écrira \overrightarrow f pour distinguer ce cas des champs scalaires.
Alors, à t fixé, pour l’application partielle \overrightarrow f_t, on a

 d \overrightarrow f_t  (v)=d \overrightarrow f_t  (\sum _{j=1}^{3} v^{j} \varepsilon _j) =\sum _{j=1}^{3} v^{j} d \overrightarrow f_t  (\varepsilon _j)


D’autre part, si (e_j ) est la base canonique de {\mathbb R}^3

 \begin{eqnarray}
d \overrightarrow f_t  (\varepsilon _j)  & = & d \overrightarrow f_t (\frac{\partial {_j} \Phi}{\| \partial {_j} \Phi \|})  \\
& = & \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} d \overrightarrow f_t ( \partial {_j} \Phi )  \\
& = &  \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} d \overrightarrow f_t ( d \Phi (e_j ))  \\
& = & \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} d (\overrightarrow f_t \circ \Phi ) (e_j)  \\
& = & \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} \frac{\partial {(\overrightarrow f_t  \circ \Phi)}} {\partial q_j}  \nonumber
\end{eqnarray}
Résumons.

propriété Corollaire 2

Pour un champ vectoriel \overrightarrow f,

\frac{D \overrightarrow f}{Dt}
= \frac {\partial \overrightarrow f}{\partial t} + 
( \sum _{j=1}^{3} v^{j} \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} \frac{\partial } {\partial q_j}  ) (\overrightarrow f_t  \circ \Phi)

En coordonnées locales, on écrira \overrightarrow f_t = \sum _{i=1}^{3} f_{t}^{i}  \varepsilon _i .

notation
Les mécaniciens ont l’habitude de condenser cette écriture à l’aide de l’opérateur différentiel \overrightarrow {grad} dont l’expression locale est

\sum _{j=1}^{3} \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi \|} \frac{\partial } {\partial q_j} \varepsilon _j


"Tout se passe comme si" l’on effectuait un "produit scalaire" de cet opérateur avec le vecteur vitesse v (ce qui n’a pas de sens, il ne s’agit que d’une notation commode), de sorte que la formule du corollaire 2 s’écrit (avec quelques allègements d’écriture)

 \frac{D\overrightarrow f }{Dt} =  (\frac{\partial }{\partial t} + v. \overrightarrow {grad})(\overrightarrow f)

exemple En coordonnées cartésiennes, si l’on note (u,v,w) les coordonnées de la vitesse v (qu’il faudrait alors écrire \overrightarrow v), cela donne

\begin{eqnarray}
 \frac{D \overrightarrow f}{Dt} & = &  
 (\frac{\partial f^1}{\partial t}+u \frac{\partial f^1}{\partial x}+v \frac{\partial f^1}{\partial y}+w \frac{\partial f^1}{\partial z}) e_1 \\
&   & + (\frac{\partial f^2}{\partial t}+u \frac{\partial f^2}{\partial x}+v \frac{\partial f^2}{\partial y}+w \frac{\partial f^2}{\partial z}) e_2 \\
&   & + (\frac{\partial f^3}{\partial t}+u \frac{\partial f^3}{\partial x}+v \frac{\partial f^3}{\partial y}+w \frac{\partial f^3}{\partial z}) e_3   \nonumber
\end{eqnarray}

exemple En coordonnées cylindriques :

\frac{D \overrightarrow f}{Dt}
= ( \frac {\partial}{\partial t} + 
  v^{\rho} \frac {\partial} {\partial \rho} + v^{\theta} \frac{1}{\rho} \frac {\partial} {\partial \theta} + v^{z} \frac {\partial} {\partial z} ) ( f^{\rho} \varepsilon _{\rho}+ f^{\theta} \varepsilon _{\theta}+f^{z} \varepsilon _{z} )

exemple En coordonnées sphériques :

\frac{D \overrightarrow f}{Dt}
= ( \frac {\partial}{\partial t} + 
  v^{\rho} \frac {\partial} {\partial \rho} + v^{\theta} \frac{1}{\rho} \frac {\partial} {\partial \theta} + v^{\varphi} \frac {1}{\rho \sin\theta} \frac {\partial} {\partial \varphi} ) ( f^{\rho} \varepsilon _{\rho}+ f^{\theta} \varepsilon _{\theta}+f^{\varphi} \varepsilon _{\varphi} )

question remue-méninges Donner l’expression de l’accélération eulérienne a en coordonnées cylindriques.
notation La différentielle de f_t, qui est un champ d’applications linéaires de l’espace dans lui même (champ d’endomorphismes) est plutôt notée \overline{\overline{\text {grad}}}f par les mécaniciens, au lieu de df_t.

Cette notation tensorielle est usuelle, mais aucune notion sur les tenseurs n’est ici nécessaire ou utile (les champs de vecteurs, les formes différentielles, les champs d’endomorphismes sont des cas particuliers de champs de tenseurs).

Remarque

Dans le cas général où l’hypothèse (H) n’est pas vérifiée, l’usage est d’appliquer encore les formules précédentes, bien qu’elles ne reposent sur aucun fondement précis. La raison ne peut pas être expliquée en détail au niveau de cet article, disons que c’est la raison d’être de la formulation de l’ensemble B^{\phi} des configurations en termes de réunion disjointe (somme d’ensembles). Ceci permet de donner à cet ensemble une structure de "variété différentielle" dont les cartes ramènent au moins localement au cas d’un produit, et donc "tout se passe comme si" l’on avait le droit d’utiliser des dérivées partielles.

pour aller plus loin On trouvera une autre expression de l’accélération dans Une formule de calcul des accélérations.