Formule de Stokes, une formulation unique, De la formule au théorème - epiphys

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Formule de Stokes, une formulation unique, De la formule au théorème

Description :

Approche du théorème de Stokes.

Intention pédagogique :

Introduction à la nature du théorème de Stokes à partir d’une comparaison des formules particulières.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

45 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Une étude purement technique de tous les articles de type "analyser" relatifs au concept "Théorème de Stokes" répond à la question du "comment", mais peut laisser entière la question du "pourquoi".

Pourquoi l’intégrale du rotationnel ou de la divergence d’un champ sur un domaine est-elle égale à l’intégrale du champ sur le bord du domaine ?


situation-problématique

Cette question est l’occasion d’évoquer un paradoxe.

Si le sens du théorème de Stokes (version formule de Stokes pour une surface ou version formule d’Ostrogradsky) était acquis par la compréhension des applications que l’on peut en faire en électrostatique ou en mécanique des fluides Bilans, en utilisant la formulation en champs de vecteurs, la question ne se poserait pas.
Une première conclusion est que la capacité d’appliquer ou d’utiliser, nécessaire pour la constitution du sens d’un concept, est loin d’être suffisante. La reconnaissance d’une structure ou d’une propriété d’une structure mathématique participe à la constitution du sens.
On peut faire le parallèle avec le concept de dérivée. Tout bachelier (scientifique, mais pas seulement) sait comment utiliser la fonction dérivée pour obtenir les variations d’une fonction, mais qui peut donner une réponse pertinente à la question du sens de la dérivation, et du paradoxe qui lui est inséparable :
"\frac {0}{0} = \text {un nombre}" (du moins pour les fonctions dérivables).

discussion Pour Stokes, un élément de réponse est dans la formule

 \int_{a}^{b} f'(t) dt = f(b)-f(a)

valable pour toute fonction C^1.

En réalité, on n’intègre pas une fonction mais la 1-forme (exacte) df=f'\,dt sur le segment [a,b], et l’intégrale de f sur le bord du segment est la différence f(b)-f(a), car le bord est un ensemble fini, il s’agit donc de la mesure discrète, et que le bord est orienté.

Cette formule n’est qu’un cas particulier du théorème de Stokes \boxed{
\oint\limits_{\partial I}f =\int_{I}\mathbf{d}f }} appliqué à la forme f de degré zéro.

Comparons aux formules connues

\boxed{
\oint\limits_{\partial S}\alpha =\int_{S}\mathbf{d}\alpha }}

et

\boxed {\oiint_{\partial V}{ \omega}=\iiint_{V}{\mathbf{d}\omega} }

Tout cela est bien de la même nature, et cette analogie est révélée par la formulation en termes de formes différentielles, mais cachée par la formulation en termes de champs de vecteurs

 \boxed{\oint\limits_{\partial S} X \overrightarrow {dl} =  \int_{S} \overrightarrow{\text{rot}}X \overrightarrow {ds} }

ou

\boxed {\oiint_{\partial V}{ X \overrightarrow {ds}}=\iiint_{V}{\text{div} X \ dV} }

N’oublions pas aussi que, pour démontrer, c’est aussi l’usage des formes différentielles qui permet d’être efficace.

situation-problématique Si l’analogie était la seule réponse, la question initiale garderait sa part de mystère. Pour comprendre, il faut d’abord formuler le théorème de Stokes dans le cadre des variétés, ce qui dépasse le niveau des concepts présentés ici, puis regarder la démonstration.
discussion Pour les esprits curieux, voici une formulation possible du théorème de Stokes. Soit M une variété à bord orientée de dimension n, et \omega une (n-1)-forme différentielle sur M, nulle en dehors d’un compact. Il existe alors une orientation du bord \partial M pour laquelle


\int\limits_{\partial M}\omega =\int_{M}\mathbf{d}\omega }

On voit ce qu’il reste à faire pour appréhender ce théorème : définir les notions de variété (différentielle) à bord, le bord, les formes différentielles et leur différentielle extérieure. [1]

Pour les variétés, il suffit de savoir que ce sont des ensembles abstraits (pas nécessairement inclus dans R^n à priori, dotés d’un système de cartes comme on l’a vu dans le cas particulier de la droite projective réelle dans l’article Cartographie du concept Coordonnées locales.

C’est à ce prix que l’on obtient une formulation qui contient toutes celles qui sont présentées ici.

Les grandes lignes de la démonstration sont les suivantes (ce qui suit se comprend si l’on a en mémoire les définitions et propriétés des 1-formes et 2-formes, on se reportera aux concepts correspondants si besoin).

L’intégrale d’une forme différentielle sur une variété étant définie par transposition, on est ramené à des domaines de R^n.

Or, une (n-1)-forme sur R^n s’écrit

\omega = \sum_{i=1}^{n} \omega_{i}dq^{1}\wedge ...\wedge \widehat{dq^{i}} \wedge ... \wedge dq^{n}

et la définition de la différentielle extérieure est posée de telle sorte que

\mathbf{d} \omega =\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \frac {\partial \omega_{i}}{\partial q^i}dq^{1}\wedge ...\wedge dq^{i} \wedge ... \wedge dq^{n}.

En intégrant \mathbf{d} \omega sur le bord du domaine, le théorème de Fubini donne le résultat en ramenant à des intégrales de dérivées, c’est à dire exactement à la situation élémentaire décrite au début de cet article.

On voit ainsi que le passage de l’intégrale sur un domaine à l’intégrale sur le bord est simultané avec une intégrale de dérivée, ce qui explique le phénomène constaté et répond à la question posée au début.