Formule d`Ostrogradsky sur un domaine élémentaire à bord - epiphys

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Formule d`Ostrogradsky sur un domaine élémentaire à bord

Description :

Formule d’ostrogradsky en termes de formes différentielles et de champs de vecteurs.

Intention pédagogique :

Enoncer, démontrer la formule d’Ostrogradsky, et relier les deux formulations en termes de formes différentielles et de champs de vecteurs.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Il s’agit d’une formule analogue à la Formule de Stokes sur une surface émémentaire à bord où la nappe est remplacée par un domaine tridimensionnel.
discussion Il convient d’abord de préciser le vocabulaire.
définition Définition

Supposons données
- \varphi _1, \varphi _2 fonctions C^1définies sur un ouvert \mathcal{U} de \mathbb{R}^{2}, à valeurs réelles.
- \psi _1, \psi _2 fonctions C^1définies sur un ouvert \mathcal{V} de \mathbb{R}^{2}, à valeurs réelles.
- \theta _1, \theta_2 fonctions C^1définies sur un ouvert \mathcal{W} de \mathbb{R}^{2}, à valeurs réelles.
- K,L,M des parties compactes (donc Lebesgue-intégrables) respectivement de \mathcal{U}, \mathcal{V},\mathcal{W}.
- Une partie \mathcal{D} de \mathbb{R}^{3}, de la forme

\begin{eqnarray*}
\mathcal{D} &=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}, (x,y) \in K ,\varphi _{1}(x,y)\leq z \leq \varphi _{2}(x,y)\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}, (y,z) \in L ,\psi _{1}(y,z)\leq x \leq \psi _{2}(y,z)\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}, (x,z) \in M ,\theta_{1}(x,z)\leq y \leq \theta _{2}(x,z)\right\} \\
\right\} \end{eqnarray*}

Dans ces conditions \mathcal{D} est appelé un domaine élémentaire de \mathbb{R}^{3}.

En remplaçant les six inégalités par des égalités dans les expressions ci-dessus, on obtient six nappes, dont la réunion est appelée le bord de \mathcal{D}, et noté \partial \mathcal{D}.

propriété Proposition (Formule d’Ostrogradsky)

Les données sont les suivantes.

- Un domaine élémentaire \mathcal{D} de \mathbb{R}^{3},
- Une 2-forme différentielle
\omega = P(x,y,z) dy\wedge dz +Q(x,y,z) dz\wedge dx+R(x,y,z) dx\wedge dy de classe C^1 sur un ouvert \mathcal{V} contenant \mathcal{D}.

Alors, il existe une orientation de \partial \mathcal{D} (dite vers l’extérieur), pour laquelle

 \boxed{ \int_{\mathcal{D}}\mathbf{d}\omega =  \int_{\partial \mathcal{D}}\omega }

Démonstration

Par définition,  \mathbf{d}\omega =  (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dx \wedge dy \wedge dz.
Pour calculer chacune des trois intégrales dont la somme est  \int_{\mathcal{D}}\mathbf{d}\omega =, on utilise le théorème de Fubini et les trois caractérisations de \mathcal{D}.
Par exemple,

\iiint_{\mathcal{D}}\frac{\partial R}{\partial z}dx dy dz = \iint_{(x,y) \in K} (\int_ {\varphi_1 (x,y)} ^{\varphi_2 (x,y)}\frac{\partial R}{\partial z}dz )dx dy

 =\iint_{(x,y) \in K} R(x,y,\varphi_2 (x,y))dxdy -  \iint_{(x,y) \in K} R(x,y,\varphi_1 (x,y))dxdy.

D’autre part, le bord de \mathcal{D} est la réunion des deux nappes \Sigma_1 et \Sigma_2 paramétrées par (x,y) \in K et \varphi_1, \varphi_2. La formule de calcul de l’intégrale d’une 2-forme Intégrales des 2-formes différentielles, flux (introduction) donne

 \int_{\Sigma_2} R dx \wedge dy = \iint_{(x,y) \in K} R(x,y,\varphi_2 (x,y)) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial x} & \frac{\partial x}{\partial y} \\ 
\frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial y}{\partial y}
\end{array}\right\vert  dxdy = \iint_{(x,y) \in K} R(x,y,\varphi_2 (x,y))   dxdy.


Il en est de même pour \Sigma_1, mais avec le signe opposé pour respecter l’orientation définie par la normale "extérieure" (- \partial_1 {\varphi_1}, - \partial_2 {\varphi_1}, 1).
L’addition des formules obtenues donne le résultat cherché.

Traduction de la formule d’Ostrogradsky en termes de champs de vecteurs.

Notons X le champ de vecteurs associé à la 2-forme \omega.

On sait (Intégrale d’une 2-forme, flux), que  \int_{\partial \mathcal{D}}\omega } est le flux de X, qui s’exprime aussi en termes de mesure surfacique c’est à dire (ds comme mesure sur une surface )

 \int_{\partial \mathcal{D}}\omega } =\int_{\partial \mathcal{D}}\left\langle
X,n\right\rangle \ ds

.

D’autre part, le champ scalaire associé à \mathbf{d}\omega est \text{div} X, c’est la définition de la divergence, et l’intégrale de la 3-forme \mathbf{d}\omega est, par définition, l’intégrale du champ scalaire associé pour la mesure de Lebesgue dv.

Au total, la formule d’Ostrogradsky s’écrit aussi comme formule permettant de de passer d’une intégrale de volume à un flux :

\boxed {\iiint_{\mathcal{D}}{\text{div} X \ dv} = \iint_{\partial \mathcal{D}}{\left\langle
X,n\right\rangle\ ds}}

question remue-méninges Que peut-on dire si \text{div} X =0 ?