Calcul d'une transposition - epiphys

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Calcul d’une transposition

Description :

Transposition d’une forme de degré maximal par un difféomorphisme. Application aux coordonnées polaires et sphériques.

Intention pédagogique :

Appliquer la formule définissant la transposition d’une forme différentielle.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


Enoncé

question remue-méningesSi \mathcal{U} est un ouvert d’un espace vectoriel E de dimension p=2 ou 3, \mathcal{U} un ouvert de \mathbb{R}^{p},


\Phi :(q^{1},...,q^{p})\longmapsto (x^{1},...,x^{p})

une paramétrisation locale de \mathcal{U}, et \omega =A\ dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{p}\in \Omega ^{p}(\mathcal{U}), démontrer que


\Phi ^{\ast }\omega =\left( A\circ \Phi \right) \left( \det J\Phi \right) dq^{1}\wedge ...\wedge dq^{n}\text{.}

On pourra se limiter à l’écriture avec p=2.

En particulier, avec p=2, en coordonnées polaires,


\Phi ^{\ast }\left( A(x,y)\ dx\wedge dy\right) =A(r ,\theta )\ r dr \wedge d\theta \text{,}

avec p=3, en coordonnées sphériques,


\Phi ^{\ast }\left( A(x,y,z)\ dx\wedge dy\wedge dz\right) =A(r,\theta ,\varphi )\ r^{2}\sin \theta \ dr\wedge d\theta \wedge d\varphi \text{.}

Solution