2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (II) - epiphys

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2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (II)

Description :

Différentielle extérieure d’une forme, en dimension 2,3.

Intention pédagogique :

Donner les outils de base pour la reconnaissance des 2-formes exactes, et les premières propriétés de la différentielle extérieure, en vue d’une formulation du théorème de Stokes en termes de formes différentielles.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction On poursuit ici l’étude des formes différentielles commencée dans 2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (I), en introduisant l’opération appelée différentielle extérieure.

situation-problématique Il s’agit de généraliser la différentielle des champs scalaires. La différentielle extérieure d’une 1-forme sera une 2-forme, la différentielle extérieure d’une 2-forme sera une 3-forme, et ces notions sont la clé de la compréhension des concepts de rotationnel et divergence, au moins pour ce qui concerne leur aspect différentiel. La Physique utilise autant leurs propriétés intégrales, ce n’est pas le sujet de cet article.

Il est commode de considérer les champs scalaires C^1 sur un ouvert \mathcal U d’un espace vectoriel E de dimension finie n comme formes différentielles de degré 0 sur \mathcal U. L’espace vectoriel de ces 0-formes est noté \Omega ^0 (\mathcal U).

question remue-méninges Si p>n, \Omega ^p (\mathcal U)= \{0 \}. Pourquoi ?
discussion Le niveau d’abstraction de la définition générale n’étant pas en rapport avec celui de cet article (dimension limitée à 2 ou 3), la définition qui va suivre n’est pas intrinsèque, mais opératoire.
définition Définition 4

Notons n la dimension de E, et p un entier compris entre 0 et n. \mathbf{d} est l’opérateur linéaire de  \Omega ^{p} \left (   \mathcal{U} \right ) sur  \Omega  ^{p+1} \left (   \mathcal{U} \right ) , appelé différentielle extérieure, qui vérifie les relations suivantes
- Si p=0,  \mathbf{d} f=df (différentielle usuelle).
- Si n=2,p=1,

\mathbf{d}(Pdx+Qdy) = dP\wedge }dx+dQ\wedge
dy =( \partial _{1}P dx+\partial _{2}P dy) \wedge dx+( \partial _{1}Q dx+\partial _{2}Q dy) \wedge dy

soit

\mathbf{d}(Pdx+Qdy) =(\partial _{1}Q-\partial _{2}P) dx\wedge dy


- Si n=3,p=1, en notations indicées,

 \begin{eqnarray*}
\mathbf{d}\left( \sum_{i=1}^{3}P_{i}dx^{i}\right) &=&\left( \partial
_{2}P_{3}-\partial _{3}P_{2}\right) dx^{2}\wedge dx^{3}+  \notag \\
&&\left( \partial _{3}P_{1}-\partial _{1}P_{3}\right) dx^{3}\wedge dx^{1}+ 
\notag \\
&&\left( \partial _{1}P_{2}-\partial _{2}P_{1}\right) dx^{1}\wedge dx^{2}.
\end{eqnarray*}


- Si n=3,p=2,

\begin{eqnarray*}
&&\mathbf{d}\left( \omega _{12}dx^{1}\wedge dx^{2}+\omega _{23}dx^{2}\wedge
dx^{3}+\omega _{31}dx^{3}\wedge dx^{1}\right)   \notag \\
&=&\left( \partial _{1}\omega _{23}+\partial _{2}\omega _{31}+\partial
_{3}\omega _{12}\right) dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}
\end{eqnarray*}

situation-problématique Généralisons la notion de forme fermée, forme exacte, connue pour les 1-formes 1-formes différentielles.
discussion
définition Définition 5

Une p-forme  \omega \in \Omega^{p}(\mathcal{U}) est fermée si  \bold {d} \omega  =0, elle est exacte (avec p>0) si il existe \alpha \in \Omega^{p-1}(\mathcal{U}) tel que \omega= \bold {d} \alpha.

\alpha est alors appelée une primitive de \omega.

On admettra la propriété suivante.

propriété Proposition 3

- Toute forme exacte est fermée, autrement dit, \bold {d} \circ \bold {d} =0
- La réciproque dépend de la "géométrie" de U. (Lemme de Poincaré)

S’il existe un point a \in \mathcal{U} tel que le segment [ma] soit contenu dans \mathcal{U} pour tout point m \in \mathcal{U} (on dit que \mathcal{U} est étoilé par rapport à a), alors toute forme différentielle fermée \Omega^{p}(\mathcal{U}), avec p>0, est exacte.

Un ouvert convexe (en particulier une boule) est étoilé par rapport à n’importe quel de ses points. On peut donc dire que toute forme fermée est "localement exacte".

question remue-méninges Dans {{R}}^3, la 2-forme

\omega = yz dy\wedge dz -xz dz\wedge dx+ (x^2 +xy) dx\wedge dy

est fermée donc exacte (vérifier), et déterminer une primitive particulière du type \alpha = A_1 dx+A_2 dy
situation-problématique Les opérations de transposition et dérivation extérieure ont une propriété remarquable (admise ici), qui permet de savoir si une forme est exacte en utilisant un système de coordonnées locales.
discussion
propriété Proposition 4

Etant donné
- Deux espaces vectoriels E et E' de dimension finie (2 ou 3), un ouvert   \mathcal{U} \subset  E, un ouvert   \mathcal{V} \subset  E', et une application f de classe C^1 de  \mathcal{V} dans  \mathcal{U},
- une p-forme  \omega , définie sur l’ouvert   \mathcal{U} \subset  E, p=2,3 dans les conditions de compatibilité entre les dimensions et le degré des formes différentielles, on a la relation

f^* (\bold {d} \omega) = \bold {d} (f^* \omega)