Calcul d'une intégrale de 2-forme - epiphys

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Calcul d’une intégrale de 2-forme

Intention pédagogique :

Appliquer la formule d’intégration d’une 2-forme de l’espace sur une nappe.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


méthode

On rappelle la formule Intégrale d’une 2-forme

\omega =PdX\wedge dY+QdY\wedge dZ+RdZ\wedge dX

\int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv,

avec 
A=\left( P\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ 
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left( Q\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ 
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left( R\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ 
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}
\end{array}
\right\vert \text{.}

énoncé Calculer \int_{\Sigma }\omega si \omega =\frac{dY\wedge dZ}{x}, et \Sigma est la nappe paramétrée par F(u,v)=\left(u,v,u^{2}+v^{2}\right) , avec \left( u,v\right) appartenant à l’ouvert \mathcal{V} égal au disque unité privé du segment x=0, -1\leq y\leq 1.