Equations de Pfaff en dimension 3 et deuxième principe de la thermodynamique - epiphys

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Equations de Pfaff en dimension 3 et deuxième principe de la thermodynamique

Description :

Démonstration partielle du théorème d’intégration des équations de Pfaff en en dimension trois, application au deuxième principe de la thermodynamique.

Intention pédagogique :

Pratiquer le calcul différentiel extérieur en dimension trois.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction On cherche ici à étendre l’étude des Equations de Pfaff en dimension 2 à la dimension 3.

situation-problématique A toute 1-forme \alpha =Pdx+Qdy+Rdz\in \Omega ^{1}\left( \mathcal{U}\right) 
qui ne s’annule pas sur un ouvert \mathcal{U} de \mathbb{R}^{3}, est associé un champ de plans affines (on dit aussi une distribution de plans) en prenant en chaque point m de l’espace, le plan P_{m}=m+\ker \alpha _{m}.

Si m=(x,y,z), le vecteur \left( P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z\right) est donc un vecteur normal à P_{m}.

La figure représente la distribution associée à la forme \alpha=dX+ydZ.

Résoudre une équation de Pfaff \alpha =0, c’est trouver une nappe régulière \Sigma de l’espace dont le plan tangent en tout point m soit le plan P_{m}.

En pratique, si la nappe est donnée par une paramétrisation \left( \mathcal{V},\Phi \right) , où \mathcal{V} est un ouvert de \mathbb{R}^{2}, cela s’écrit de manière équivalente


\forall \left( u,v\right) \in \mathcal{V}\text{, }\alpha _{\Phi (u,v)}\left( \frac{\partial \Phi }{\partial u}\right) =\alpha _{\Phi (u,v)}\left( \frac{\partial \Phi }{\partial v}\right) =0\text{.}

Si la nappe est donnée par une équation implicite F(x,y,z)=0, F étant une fonction régulière sur \Sigma , le plan tangent en  m(x,y,z) étant m+\ker d_{m}F, la condition s’écrit \ker d_{m}F=\ker \alpha _{m}.

La nappe \left( \mathcal{V},\Phi \right) est appelée une solution locale de l’équation de Pfaff \alpha =0, ou surface intégrale de la distribution P_{m}, aux points appartenant à \Phi (\mathcal{V}).

Contrairement à ce qui se passe dans le plan, une forme différentielle dans \mathbb{R}^{3} peut ne pas avoir de facteur intégrant. On verra un exemple ci-dessous.

La question de savoir reconnaître les distributions de plans qui admettent des surfaces intégrales est résolue en général parle théorème ci-dessous, dont on va donner un énoncé, et démontrer seulement les points les plus faciles.

propriété

Enoncé du théorème.

Pour une 1-forme \alpha =Pdx+Qdy+Rdz\in \Omega ^{1}\left( \mathcal{U}\right) , qui ne s’annule pas sur un ouvert U de R^{3}, les propriétés suivantes sont équivalentes.

1) \alpha admet localement un facteur intégrant.

2) Pour tout point m\in U, il existe une surface intégrale de la distribution associée, passant par m.

3) \alpha \wedge d\alpha =0 (Condition de Frobenius).

4) Pour tout point m\in U, il existe dans toute boule ouverte V de centre m, des points qui ne peuvent être reliés à m par un arc \left( I,\gamma \right) tel que \alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime }(t)\right)=0 pour tout t\in I (Théorème d’inaccessibilité de Carathéodory).

De plus, si ces propriétés sont vérifiées, alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) \alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime }(t)\right) =0 quel que soit t\in I.

(ii) Le support de l’arc \gamma \ est contenu dans une surface intégrale.

Vérifier que la forme \alpha (x,y,z)=dx+ydz n’admet pas de facteur intégrant (en utilisant 3)).

énoncé Exercice

- Question 1.

Démontrer (1)\Longrightarrow (2) en recherchant une équation implicite d’une surface intégrale.
- Question 2

Démonstration de (2)\Longrightarrow (1).

Préliminaire algébrique.

    1. Quel est le noyau \ker \alpha d’une forme linéaire donnée \alpha \in \mathbb{R}^{n\ast }, distincte de la forme nulle ? (donner deux démonstrations, l’une intrinsèque, l’autre dépendant du choix d’une base). Pour un réel donné \lambda \neq 0, comparer \ker \alpha et \ker \left( \lambda \alpha \right) .
    2. Inversement, si l’on écrit \alpha =0 ou \beta =0 deux équations d’un même hyperplan vectoriel H, démontrer que les formes linéaires \alpha et \beta sont proportionnelles (indication : prendre un vecteur a\notin H, et comparer les formes \alpha (a)\beta et \beta (a)\alpha ).

En déduire l’implication (2)\Longrightarrow (1), en partant d’une équation implicite de \Sigma .
- Question 3

Démontrer (1)\Longrightarrow (3).

énoncé Application : Deuxième principe de la thermodynamique.

Enoncer deux formulations équivalentes du deuxième principe de la thermodynamique en traduisant les propriétés 1) et 4) de la proposition, dans le cadre des systèmes en équilibre.

On notera \delta Q la 1-forme qui représente la chaleur, S l’entropie du système, T est la température, on appelle transformations adiabatiques (quasi-statiques compte tenu de la restriction aux états d’équilibres) les processus au cours desquels il n’y a pas d’échange de chaleur.