Equations de Pfaff (ou trajectoires orthogonales) en dimension 2 - epiphys

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Equations de Pfaff (ou trajectoires orthogonales) en dimension 2

Description :

Exemples de résolutions d’équations de Pfaff

Intention pédagogique :
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique

\mathcal{U} étant un ouvert de \mathbb{R}^{2}, à toute 1-forme \alpha =Pdx+Qdy\in \Omega ^{1}\left( U\right) , qui ne s’annule pas sur \mathcal{U}, est associée un champ de droites affines (on dit aussi une distribution de droites) en prenant en chaque point m du plan, la droite D_{m}=m+\ker \alpha _{m}.

Si m=(x,y), le vecteur \left( P(x,y),Q(x,y)\right) est donc un vecteur normal à D_{m}.

On pourra visualiser la distribution associée à la forme \alpha =-ydx+xdy sur le complémentaire de l’origine, en prenant quelques points.

Résoudre une équation de Pfaff \alpha =0, c’est trouver un arc régulier \left( I,\gamma \right) du plan, tel que \gamma (I)\subset U, et


\forall t\in I\text{, }\alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime}(t)\right) =0\text{.}

Il revient au même d’écrire que la tangente à l’arc en tout point \gamma (t) est la droite D_{\gamma (t)}, ou que (P,Q) est un champ normal à \gamma (d’où le nom de trajectoire orthogonale).

L’arc \left( I,\gamma \right) est appelé une solution locale de l’équation de Pfaff \alpha =0, ou courbe intégrale de la distribution D_{M} aux points appartenant à \gamma (I).

Cette recherche est donc de la même nature que celle des Lignes de courant, dans ce cas le champ est tangent au lieu d’être normal.

discussion
énoncé

1. Résolution d’une équation de Pfaff dans \mathbb{R}^{2}, lorsque la forme est exacte, \alpha =df.

    1. Prouver que \left( I,\gamma \right) est une courbe intégrale si et seulement si f\circ \gamma est constante sur I.
    2. Vérifier que la forme \alpha (x,y)=ydx+(x+2y)dy est exacte (déterminer f au jugé, sans calculs), et chercher les courbes intégrales de la forme \gamma (t)=(t,y(t)).

2. Résolution d’une équation de Pfaff dans \mathbb{R}^{2}, dans le cas général.

    1. On peut prouver Facteurs intégrants qu’il existe localement un facteur intégrant. Expliquer comment on est ainsi ramené au cas précédent.
    2. Vérifier que la forme \alpha (x,y)=-ydx+(x+y^{2})dy n’est pas exacte (non fermée suffit), et chercher un facteur intégrant \varphi (y), fonction de y seul. En déduire les courbes intégrales de la forme \gamma (t)=(t,y(t)).