Facteurs intégrants - epiphys

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Facteurs intégrants

Description :

Notion de facteur intégrant pour une 1-forme différentielle, question d’existence en dimensions 2 et 3.

Intention pédagogique :

Utiliser les techniques de calcul différentiel pour la recherche de facteurs intégrants.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Pour une 1-forme différentielle \alpha qui n’est pas exacte, on est conduit à rechercher s’il existe une fonction \varphi telle que la forme \varphi \alpha est exacte. C’est d’ailleurs en postulant que la chaleur est de ce type que l’on formule habituellement le deuxième principe de la thermodynamique Equations de Pfaff en dimension 3 et deuxième principe.

situation-problématique \mathcal{U} étant un ouvert de \mathbb{R}^{n}, supposons donnée une 1-forme \alpha \in \Omega ^{2}\left( \mathcal{U}\right) qui ne s’annule pas sur \mathcal{U}.
définition Définition S’il existe un ouvert \mathcal{V}\subset \mathcal{U} et une fonction \varphi \in C^{2}\left( \mathcal{V},\mathbb{R}\right) , qui ne s’annule pas dans \mathcal{V}, telle que la forme \varphi \alpha soit exacte sur \mathcal{V}, on dit que \alpha admet localement \varphi comme facteur intégrant.

Il en résulte que l’on peut écrire \alpha =\frac{1}{\varphi }df, pour une fonction f\in C^{2}\left( \mathcal{V},\mathbb{R}\right) convenable.

question remue-méninges Vérifier que la forme définie par \alpha (x,y)=-ydx+xdy n’est pas exacte sur \mathbb{R}^{2} mais admet un facteur intégrant.
discussion Examinons ce qu’il en est en dimension 2.
énoncé Démontrer qu’en dimension deux, toute 1-forme \alpha =Pdx+Qdy admet "localement" un facteur intégrant.

On discutera ce que peut signifier "localement " ici.

discussion Examinons ce qu’il en est en dimension 3.
énoncé
En dimension supérieure à deux, une 1-forme peut ne pas avoir de facteur intégrant.
Etudier le cas de \mathbb{R}^{3}, \alpha (x,y,z)=dx+ydz.