Equation généralisée de bilan -II- forme différentielle (locale) - epiphys

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Equation généralisée de bilan -II- forme différentielle (locale)

Description :

Cet article donne un modèle général d’équation de bilan sous forme locale (ou différentielle).

Intention pédagogique :

Manipuler les concepts de densité, de dérivée partielle, de dérivée particulaire, de flux, d’intégrale et le thorème de la divergence pour arriver à un modèle général d’’équation de bilan sous forme différentielle. Donner des points de repère pour repérer le sens des termes présents dans des équations de bilan locales.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


situation-problématique Nous allons considérer un système \Sigma de volume V. Ce volume est fixe. Son enveloppe, c’est-à-dire la frontière entre ce système et l’extérieur à ce système est notée S. Cette enveloppe est fixe et indéformable.

Nous nous intéressons au taux de variation instantané du montant d’une grandeur physique \Psi à l’intérieur de \Sigma. On appelle \rho_\Psi la densité volumique de \Psi au sein de V. La dimension de \rho_\Psi est donc celle de \Psi par unité de volume (m3).

Compte tenu de ce que l’on s’intéresse a priori à ce qu’il se pase à l’intérieur d’un volume fixe, on se place implicitement dans le mode d’observation d’Euler (voir l’article "Interprétation eulérienne et lagrangienne" du concept Mouvement d’un milieu continu). Toutes les grandeurs physiques du problème sont décrites par des fonctions de champ (voir l’article de type synthétiser intitulé "Définir un champ" rattaché au concept champ).

L’article Equation généralisée de bilan : forme intégrale, comme son nom l’indique, explique comment procéder à un bilan global sur le volume V. Si dans une équation intégrale de bilan un seul terme est inconnu (ne peut pas être calculé explicitement), il est possible de le déduire du bilan. Mais le terme en question est forcément une grandeur intégrale ou globale, c’est-à-dire la résultante sur le volume V ou sur la surface S d’une grandeur ou d’une quantité physique. Ce type de bilan ne peut en aucun cas nous renseigner sur le détail de la distribution spatiale de la grandeur sous l’intégrale inconnue.

Pour résumer, on écrit des équations de bilan intégrales lorsqu’on connaît les champs en présence (et que l’on est donc capable de les intégrer, analytiquement ou numériquement) et/ou que la connaissance de ces champs permet d’accéder à l’intégrale d’une quantité manquante que l’on cherche.

Pour résoudre un problème de champs, c’est-à-dire déterminer les fonctions de champ relatives aux grandeurs physiques d’un problème, il faut résoudre des équations différentielles. Pour poser ces équations différentielles, il faut alors commencer par écrire des équations de bilan locales et non plus intégrales. On intégrera ensuite ces équations, analytiquement ou numériquement.

L’objet de cet article est de montrer à quoi ressemble une équation de bilan sous forme locale de sorte à pouvoir au moins repérer dans une équation de bilan quel terme représente un taux de variation, un flux, une source, un puits, etc.

discussion

Nous allons partir de la forme intégrale d’une équation générale de bilan instantané pour la grandeur extensive \Psi :

  \underbrace{\frac{\partial{}}{\partial{t}} ( \iiint_{V} {\rho_\Psi \ dV}) }_{\text {Taux de variation}} = \underbrace {- \iint_{S} {\vec j_\Psi \cdot \vec n \ dS} }_{\text{Flux net}}+ \underbrace {\iiint_{V} {\dot{\sigma}_\Psi \ dV} }_{\text{Taux de cr\'eation}}

Taux de variation instantantané de \Psi :

Dans ce terme, il est possible de "rentrer la dérivée à l’intérieur de l’intégrale". Cette modification formelle consiste en fait à dire que l’on peut intervertir ou permuter les opérations de dérivation et d’intégration. Il n’y a pas de soucis ici : la dérivée (partielle) d’une somme est bien la somme des dérivées (partielle). Par ailleurs, et c’est très important, la variable V (volume) sur laquelle on intègre est indépendante de la variable t (temps) par rapport à laquelle on dérive.

A chaque instant, le terme à gauche du signe égal peut donc s’écrire :

  \iiint_{V} {(\frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} \ dV )}

Le flux net au travers de l’enveloppe S de \Sigma (premier terme à droite du signe égal) peut quant à lui être transformé en une intégrale de volume grâce à la formule de la divergence (aussi appelée formule de Green-Ostrogradsky). On suppose sans le dire que les conditions nécessaires sur les fonctions de champ en présence sont réunies pour pouvoir appliquer cette formule (voir l’article intitulé "Formule d’Ostrogradsky" rattaché au concept Théorème de Stokes). Ainsi :

 \iint_{S} {\vec j_\Psi \cdot \vec n \ dS} = \iiint_{V} {\text {div} (\vec j_\Psi) \ dV}

 \vec j_\Psi est la densité de courant totale de \Psi. L’expression de  \vec j_\Psi dépend du "mode de transport" de \Psi.
- Si \Psi est advectée (on dit convectée, transportée par) alors on aura  \vec j_\Psi = \rho_\Psi \vec U \vec U désigne le champ "transportant" par analogie avec la mécanique des fluides où c’est le champ des vitesses du fluide en mouvement qui transporte les quantités sur lesquelles on effectue des bilans (masse, énergie, quantité de mouvement). En effet, c’est bien le mouvement d’un fluide dans un tuyau (traduit par un champ de vecteur vitesse) qui génère un flux de masse (un débit) au travers de n’importe quelle section du tuyau.
- Si il y a transfert par diffusion (voir l’article transposer "Lois de transfert diffusif" du concept gradient) alors, \vec j_\Psi = - k \ \overrightarrow {grad} (H_\Psi)H_\Psi est le potentiel moteur pour \Psi.

De ce qui précède, il vient donc que notre équation intégrale de bilan peut finalement s’écrire sous la forme d’une seule intégrale de volume où  \dot{\sigma}_\Psi représente la densité volumique de source de la grandeur \Psi ( \dot{\sigma}_\Psi <0, le mécanisme correspondant est un puits de \Psi,  \dot{\sigma}_\Psi >0, le mécanisme correspondant est une source ) :

 \iiint_{V} {(\frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} + \text {div} (\vec j_\Psi) - \dot{\sigma}_\Psi\ ) dV } = 0

Cette égalité est vraie quel que soit le volume de contrôle V considéré (\Psi étant une grandeur extensive). Elle est donc vraie à la limite pour V tendant vers dV, c’est-à-dire vers V tendant vers quelque chose d’aussi petit qu’un volume élémentaire suffisamment grand quand même pour qu’on puisse attribuer une densité volumique de \Psi à ce volume élémentaire (on parlera de "particule fluide" en mécanique des fluides). Ce raisonnement de physicien nous permet de supprimer le signe intégral de l’égalité précédente et d’écrire finalement :

 \frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} + \text {div} (\vec j_\Psi) - \dot{\sigma}_\Psi = 0

ou encore :

 \frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} = - \text {div} (\vec j_\Psi) + \dot{\sigma}_\Psi

qui est la forme générale de la forme locale (ou différentielle) de toute équation de bilan sur un système quelconque (ouvert ou fermé pour la grandeur \Psi dont on observe les variations au cours du temps) fixe et indéformable dans le repère d’observation.

ce qu'il faut retenir

Equation générale de bilan sous forme locale :

  \boxed { \underbrace{\frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} }_{\text {Taux de variation}} = \underbrace {- \text {div} (\vec j_\Psi) }_{\text{Flux net}} \quad + \underbrace {\dot{\sigma}_\Psi}_{\text{Taux de cr\'eation}}}

- Equation pour un volume élémentaire
- \Psi : grandeur extensive sur laquelle on opère le bilan
- \rho_\Psi : densité volumique de \Psi
- \vec j_\Psi : densité de courant de \Psi
- \text{div}\vec j_\Psi : densité volumique de flux de \Psi
-  \dot{\sigma}_\Psi  : densité volumique de source de la grandeur \Psi (de dimension la dimension de \Psi par unité de temps et de volume - négatif si le mécanisme est destructeur de \Psi)

La forme ci-dessus de l’équation de bilan est dite "forme conservative".

pour aller plus loin

En mécanique des fluides, si le terme de flux net contient un terme convectif de la forme  \vec j_\Psi = \rho_\Psi \vec U \vec U désigne le champ "transportant", alors :


\begin {array}{lll}
\text{div}(\vec j_\Psi )& =&  \text{div}(\rho_\Psi \vec U)\\
\text{div}(\vec j_\Psi )& =& \rho_\Psi \text{div}(\vec U) + \vec U \cdot \overrightarrow{grad} (\Psi)
\end{array}

de sorte que l’équation de bilan devient successivement :

 \frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} = - \rho_\Psi \text{div}(\vec U) - \vec U \cdot \overrightarrow{grad} (\Psi) + \dot{\sigma}_\Psi

 (\frac{\partial{\rho_\Psi}}{\partial{t}} + \vec U \cdot \overrightarrow{grad} (\Psi) )= - \rho_\Psi \text{div}(\vec U) + \dot{\sigma}_\Psi

où l’on reconnait à droite la dérivée particulaire de \Psi.

De ce qui précède, on tire une autre forme courante de l’équation généralisée de bilan instantané sous forme locale :

 \boxed {\frac{d \rho_\Psi}{dt} + \rho_\Psi \text{div}(\vec U) = \dot{\sigma}_\Psi }