Equation généralisée de bilan -I- forme intégrale - epiphys

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Equation généralisée de bilan -I- forme intégrale

Description :

Cet article donne un modèle général d’équation de bilan sous forme intégrale.

Intention pédagogique :

Manipuler les concepts de densité, de dérivée partielle, de flux et d’intégrale pour arriver à un modèle général d’équation de bilan sous forme intégrale. Donner des points de repère pour repérer le sens des termes présents dans des équations de bilan intégrales.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


situation-problématique Nous allons considérer un système \Sigma de volume V. Ce volume est fixe. Son enveloppe, c’est-à-dire la frontière entre ce système et l’extérieur à ce système est notée S. Cette enveloppe est fixe et indéformable.

Nous nous intéressons au taux de variation instantané du montant d’une grandeur physique \Psi à l’intérieur de \Sigma.

On appelle \rho_\Psi la densité volumique de \Psi au sein de V. La dimension de \rho_\Psi est donc celle de \Psi par unité de volume (m3).

Comment écrire l’équation intégrale qui exprime à chaque instant le taux de variation temporel de la quantité de \Psi contenue dans V ?

discussion

Nous allons partir de l’équation générale de bilan instantané ci-dessous écrite pour toute grandeur extensive \Psi :


\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de variation} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V}
\end{array}
\right\}
=
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Flux net} \\
\text {des \'echanges} \\
\text {au travers de} \\
\text {\bf l'enveloppe S} 
\end{array}
\right\}
+
\left\{
\begin{array}{c}
\text {\bf Taux de cr\'eation} \\
\text {interne} \\
\text {dans le} \\
\text {\bf volume V} 
\end{array}
\right\}

Comment s’exprime le taux de variation instantantané de la quantité de \Psi contenue dans V ?

La première chose à faire est d’exprimer la quantité de \Psi contenue dans V. Cette quantité vaut à chaque instant :

 \iiint_{V} {\rho_\Psi \ dV}

Le taux de variation de la quantité de \Psi contenue dans V vaut donc à chaque instant :

  \frac{\partial{}}{\partial{t}} ( \iiint_{V} {\rho_\Psi \ dV})

Remarque : il s’agit bien ici de la dérivée partielle par rapport au temps et non de la dérivée particulaire. En fait il y a égalité dans la mesure où le volume de contrôle est fixe.

Que vaut maintenant le flux net au travers de l’enveloppe S de \Sigma ?

Ce flux est par définition donné par :

 - \iint_{S} {\vec j_\Psi \cdot \vec n \ dS}

 \vec j_\Psi est la densité de courant totale de \Psi. Le signe "-" devant l’intégrale est nécessaire pour que le flux net soit positif lorsque dans V "il en rentre plus qu’il n’en sort" par unité de temps (voir l’article Equation généralisée de bilan pour la définition du flux net). Rappelons juste qu’un flux entrant une surface fermée est algébriquement négatif du fait que le vecteur normal à l’enveloppe de V est orienté vers l’extérieur de l’enveloppe (convention pour une surface fermée) et que le vecteur densité de courant est orienté vers l’intérieur de l’enveloppe ("ça rentre" dans V). Un flux sortant est donc quant à lui positif.

L’expression de  \vec j_\Psi dépend du "mode de transport" de \Psi.
- Si \Psi est advectée (on dit convectée, transportée par) alors on aura  \vec j_\Psi = \rho_\Psi \vec U \vec U désigne le champ "transportant" par analogie avec la mécanique des fluides où c’est le champ des vitesses du fluide en mouvement qui transporte les quantités sur lesquelles on effectue des bilans (masse, énergie, quantité de mouvement). En effet, c’est bien le mouvement d’un fluide dans un tuyau (traduit par un champ de vecteur vitesse) qui génère un flux de masse (un débit) au travers de n’importe quelle section du tuyau.
- Si il y a transfert par diffusion (voir l’article transposer "Lois de transfert diffusif" du concept gradient) alors, \vec j_\Psi = - k \ \overrightarrow {grad} (H_\Psi)H_\Psi est le potentiel moteur pour \Psi.

Enfin, comment s’exprime le dernier terme de l’équation généralisée de bilan ?

Les termes sources/puits peuvent toujours se mettre sous la forme suivante :

 \iiint_{V} {\dot{\sigma}_\Psi \ dV}

 \dot{\sigma}_\Psi représente la densité volumique de source de la grandeur \Psi. La dimension de  \dot{\sigma}_\Psi est clairement égale à la dimension de \Psi par unité de temps et de volume de sorte que  \dot{\sigma}_\Psi \ dV ait pour dimension celle de \Psi par unité de temps et que l’intégrale ait donc également cette dernière dimension. Si  \dot{\sigma}_\Psi <0, le mécanisme correspondant est un puits de \Psi et ce mécanisme contribue donc à la destruction de \Psi dans le volume de contrôle V. Si \dot{\sigma}_\Psi >0, le mécanisme correspondant est une source de \Psi.

Ce qui donne finalement :

  \underbrace{\frac{\partial{}}{\partial{t}} ( \iiint_{V} {\rho_\Psi \ dV}) }_{\text {Taux de variation}} = \underbrace {- \iint_{S} {\vec j_\Psi \cdot \vec n \ dS} }_{\text{Flux net}}+ \underbrace {\iiint_{V} {\dot{\sigma}_\Psi \ dV} }_{\text{Taux de cr\'eation}}

ce qu'il faut retenir Equation générale de bilan sous forme intégrale :

  \boxed { \underbrace{\frac{\partial{}}{\partial{t}} ( \iiint_{V} {\rho_\Psi \ dV}) }_{\text {Taux de variation}} = \underbrace {- \iint_{S} {\vec j_\Psi \cdot \vec n \ dS} }_{\text{Flux net}}+ \underbrace {\iiint_{V} {\dot{\sigma}_\Psi \ dV} }_{\text{Taux de cr\'eation}}}

- Equation pour un volume de contrôle V fixe et indéformable
- S : enveloppe (en m2) de \Sigma
- \Psi : grandeur extensive sur laquelle on opère le bilan
- \rho_\Psi : densité volumique de \Psi
- \vec j_\Psi : densité de courant de \Psi
-  \dot{\sigma}_\Psi  : densité volumique de source de la grandeur \Psi (de dimension la dimension de \Psi par unité de temps et de volume - négatif si le mécanisme est destructeur de \Psi)

Si dans une équation intégrale de bilan un seul terme est inconnu (ne peut pas être calculé explicitement), il est possible de le déduire du bilan. Mais le terme en question est forcément une grandeur intégrale ou globale, c’est-à-dire la résultante sur le volume V ou sur la surface S d’une grandeur ou d’une quantité physique. Ce type de bilan ne peut en aucun cas nous renseigner sur le détail de la distribution spatiale de la grandeur sous l’intégrale inconnue.

Il faut garder à l’esprit que l’on écrit des équations de bilan intégrales lorsqu’on connaît les champs en présence (et que l’on est donc capable de les intégrer, analytiquement ou numériquement sur les volumes et sur les surfaces en présence) et/ou que la connaissance de ces champs permet d’accéder à l’intégrale d’une quantité manquante que l’on cherche.

Pour résoudre un problème de champs, c’est-à-dire déterminer les champs relatifs aux grandeurs physiques d’un problème, il faut résoudre des équations différentielles. Pour poser ces équations différentielles, il faut alors commencer par écrire des équations de bilan locales et non plus intégrales. On intégrera ensuite ces équations, analytiquement ou numériquement.