Exemples de champs gradients - epiphys

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Exemples de champs gradients

Description :

Exemples de champs gradients d’origine mathématique ou physique

Intention pédagogique :

Mettre en oeuvre la méthode de reconnaissance d’un champ gradient résumée dans l’article Reconnaitre un champ gradient.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé

EXERCICE 1

Un champ central isotrope dans l’espace est un champ de vecteurs de la forme

X_{M}=F \left (  \left {\|}  \overrightarrow{OM} \right {\|}  \right ) {{\frac{ \overrightarrow{OM}}{ \left {\|}  \overrightarrow{OM} \right {\|} }}} \textrm{,}

pour un point O donné, et F fonction scalaire dérivable dans  \mathbb{R}  \backslash  0.
En déduire qu’un champ central isotrope est un champ gradient (et donner un potentiel, sous la forme -V au lieu de f).

énoncé

EXERCICE 2

On connait l’importance historique de la reconnaissance de tels champs centraux comme modèle des champs gravitationnels (Newton, Plilosophiae Naturalis Principia, 1687), et électrostatiques (Coulomb, Histoire de l’Académie Royale des Sciences, 1785).
Une particule de masse  \mu  placée en un point O de l’espace crée un champ gravitationnel dont l’expression en tout point M distinct de O est

 \overrightarrow{G} \left ( M \right ) =-K \mu  {{\frac{ \overrightarrow{OM}}{OM^{3}}}} \textrm{.}

avec K=6,668    10^{-11} si l’on exprime les grandeurs dans le système d’unités MKSA.
De même, une particule de charge q placée en un point O de l’espace crée un champ électrostatique dont l’expression en tout point M distinct de O est

 \overrightarrow{E}\left( M\right) ={{\frac{q}{4 \pi   \varepsilon  _{0}}}}{{\frac{ \overrightarrow{OM}}{OM^{3}}}} \textrm{,}

 \varepsilon  _{0}=8,85     10^{-12}        Fm^{-1} est la permittivité du vide.
Donner l’expression du potentiel pour les champs  \overrightarrow{G} et  \overrightarrow{E}.

énoncé

EXERCICE 3
L’action d’un ressort sur une particule M de masse  \mathfrak{m} est modèlisée par le champ
X \,   \left ( M \right ) =-k \left ( OM-l \right ) {{\frac{ \overrightarrow{OM}}{OM}}}, O étant un point donné, k,l des réels >0 fixés.
Déterminer un potentiel de X, sous la forme X=- \overrightarrow{ \textrm{grad}V}.

énoncé

EXERCICE 4
Dans  \mathbb{R} ^{2}, les champs suivants sont-ils des gradients ? (méthode : essayer de déterminer un potentiel), si oui déterminer sur quel domaine ouvert. \begin{eqnarray}\mathcal{X}\left( x,y\right) & = & \left( \frac{2x}{y},\frac{1-x^{2}}{y^{2}}\right)\textrm{,}\nonumber \\ 
\mathcal{Y}\left( x,y\right) & = & \left( xy,x+y\right) \text{,} \nonumber \\ 
\mathcal{Z}\left( x,y\right) & = & \left( \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\right) \text{.}\nonumber  \end{eqnarray}