Tableau des coordonnées locales usuelles - epiphys

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Tableau des coordonnées locales usuelles

Description :

Il s’agit ici de résumer les résultats concernant les coordonnées cylindriques (simple extension à l’espace des coordonnées cylindriques), et sphériques, en rapport avec le cas général, et présenter une comparaison commentée de quelques habitudes de notations.

Intention pédagogique :

Disposer d’un formulaire commenté utilisable dans tout type d’applications.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU Pierre AIME .


introduction Pour les définitions et démonstrations, on se reportera aux articles Coordonnées locales et Cartographie.

notation Avant tout, il convient d’évoquer la notation des vecteurs : avec ou sans flèches ?
- Quels vecteurs ? un vecteur est n’importe quel élément d’un espace vectoriel. Met-on une flèche à une fonction scalaire ? à une matrice ? à une application linéaire ? à une différentielle ?
- Si l’on décide de mettre une flèche aux vecteurs de l’espace ou du plan, si L est une application linéaire (per exemple une rotation), et si v est un vecteur, alors L(v) est un vecteur, écrit-on \overrightarrow {L(\vec v)} ? (dans ce cas, que se passe-t-il si l’on décide d’écrire les vecteurs en caractères gras ?)
- Si certains vecteurs ont une flèche et pas les autres, existe-t-il un critère pour savoir lesquels ? Non, mis à part le vecteur \overrightarrow {AB} défini par deux points d’un espace affine, pour ne pas confondre avec la distance AB.Cette notation n’est pas toujours adoptée, par exemple pour l’espace affine des solutions d’une équation différentielle linéaire avec second membre.

Finalement, l’usage est que le rédacteur d’un texte met des flèches lorsqu’il lui parait important d’insister sur le caractère vectoriel d’un objet.

situation-problématique Définition des coordonnées cylindriques.
discussion
  • notation pour désigner q= \Phi (M) : (r, \theta , z) ou (\rho, \theta , z)
  • Définition : Au préalable, un repère orthonormal de l’espace est donné, noté par exemple (O;I,J,K) ou (O;i,j,k) ou (O;\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z).

\overrightarrow {OP} est le projeté orthogonal de \overrightarrow {OM} sur le plan (O;\vec e_x,\vec e_y).
- r = OP, distance euclidienne.
- \theta est l’angle polaire de \vec e_x avec \overrightarrow {OP}.
- z est la cote du point M dans le repère donné.

situation-problématique Le repère mobile (base naturelle).
discussion La compatibilité des coordonnées cylindriques avec les coordonnées cartésiennes suppose que le changement de coordonnées

(r, \theta , z) \mapsto (x,y,z) = (r \cos \theta , r \sin \theta , z)

est un C^1 difféomorphisme sur un ouvert convenable, et donc qu’en chaque point, les trois vecteurs colonne de la matrice jacobienne du changement de coordonnées forment une base de l’espace. Cette base mobile (dite base naturelle du système de coordonnées) est donc donnée par :


\left \{
\begin{array}{1111111}
\vec e_r  & = & \cos {\theta} & \vec e_x &+& \sin {\theta} &\vec e_y \\
\vec e_{\theta} & = & - \sin {\theta} &\vec e_x& +& \cos {\theta} &\vec e_y \\
\vec e_z & = & \vec e_z
\end{array}
\right.

et réciproquement, ce qui correspond à la matrice inverse :


\left \{
\begin{array}{1111111}
\vec e_x & = & \cos {\theta} & \vec e_r & - & \sin {\theta} & \vec e_{\theta} \\
\vec e_y & = & \sin {\theta} & \vec e_r & +& \cos {\theta} & \vec e_{\theta} \\
\vec e_z & = & \vec e_z
\end{array}
\right.

On observe que le repère cylindrique  (M,\vec e_r, \vec e_{\theta}, \vec e_z) est orthonormal.

Au point M, tout vecteur  \vec V s’écrit dans ce repère sous la forme :  \vec V = V_r \vec e_r + V_{\theta} \vec e_{\theta} + V_z \vec e_z

erreur fréquente Attention, V_r , V_{\theta}, V_z sont des fonctions du point M, c’est-à-dire des coorodonnées de M. V_r , V_{\theta}, V_z peuvent donc être des fonctions de  x, y, z comme de  r ,\theta, z . Ceci n’a pas trop d’importance. Toutefois, en pratique, l’utilisation des coordonnées cylindriques s’avère simplificatrice lorsque le problème présente une symétrie de révolution. Dans ce cas, il est souvent plus commode, plus intuitif et/ou plus cohérent d’exprimer V_r , V_{\theta}, V_z en fonction de  r ,\theta, z .
situation-problématique Définition des coordonnées sphériques.
discussion
  • Notation pour désigner q= \Phi (M) : (r \,\text {ou} \,\rho, \theta , \varphi) ou (R, \phi, \theta )
  • Définitions : au préalable, un repère orthonormal de l’espace est donné, noté par exemple (O;I,J,K) ou (O;i,j,k) ou (O;\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z).

\overrightarrow {OP} est le projeté orthogonal de \overrightarrow {OM} sur le plan (O;\vec e_x,\vec e_y).
- Un premier choix est de poser R=OM pour conserver r = OP, un deuxième choix est de poser r=OM, c’est suffisant si l’on n’a pas besoin d’utiliser simultanément les coordonnées cylindriques et sphériques.
- Pour la même raison, l’angle polaire de \vec e_x avec \overrightarrow {OP}, appelé longitude de M, est soit noté \theta (pour conserver la notation du repère cylindrique), soit noté \varphi.
- Enfin, l’angle polaire de \vec e_z avec \overrightarrow {OM}, appelé colatitude de M, est noté \phi, ou \theta.

Les figures ci-dessous résument ces deux types de notations.

situation-problématique Le repère mobile (base naturelle).
discussion La compatibilité des coordonnées sphériques avec les coordonnées cartésiennes suppose que le changement de coordonnées

(r , \theta , \varphi) \mapsto (x,y,z) = (r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta )

ou

(R, \phi, \theta ) \mapsto (x,y,z) = (R \sin {\phi} \cos {\theta}, R \sin {\phi} \sin {\theta},R  \cos {\phi})

est un C^1 difféomorphisme sur un ouvert convenable, et donc qu’en chaque point, les trois vecteurs colonne de la matrice jacobienne du changement de coordonnées forment une base de l’espace. Cette base mobile (dite base naturelle du système de coordonnées) est donc donnée par l’une ou l’autre des formules suivantes :
  • En notation (r , \theta , \varphi), la matrice jacobienne et son déterminant s’écrivent :

    J_{(r,\theta,\varphi)} f = \left (\begin{array}{ccc}  \sin \theta \cos \varphi & r \cos \theta \cos \varphi  & -r \sin \theta \sin \varphi & \sin \theta \sin \varphi & r \cos \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi  &\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \end{array} \right ).

Les trois vecteurs colonnes forment la base naturelle (e_r , e_{\theta},e_{\varphi}).

La base naturelle est orthogonale, mais contrairement aux coordonnées cylindriques, elle n’est pas orthonormale. D’où la "base naturelle normalisée"

(\varepsilon_r , \varepsilon_{\theta},\varepsilon_{\varphi})=(e_r , \frac{1}{r} e_{\theta}, \frac{1}{r \sin \theta} e_{\varphi})

  • En notation (R, \phi, \theta ), la base naturelle normalisée est :

    
\left \{
\begin{array}{1111111111}
\vec e_R  & = & \sin {\phi} \cos {\theta} & \vec e_x &+& \sin {\phi} \sin {\theta} &\vec e_y &+& \cos {\phi} & \vec e_z \\
\vec e_{\phi} & = & \cos {\phi} \cos {\theta} &\vec e_x &+& \cos {\phi} \sin {\theta} &\vec e_y &-& \sin {\phi}& \vec e_z \\
\vec e_{\theta} & = & - \sin {\theta} &\vec e_x&+& \cos {\theta} &\vec e_y & 
\end{array}
\right.

et réciproquement :


\left \{
\begin{array}{1111111111}
\vec e_x  & = & \sin {\phi} \cos {\theta} & \vec e_R &+& \cos {\phi} \cos {\theta} &\vec e_{\phi} &-& \sin {\theta} & \vec e_{\theta} \\
\vec e_y & = & \sin {\phi} \sin {\theta} &\vec e_R &+& \cos {\phi} \sin {\theta} &\vec e_{\phi} &+& \cos {\theta}& \vec e_{\theta} \\
\vec e_z & = &  \cos {\phi} &  \vec e_R &-& \sin {\phi} &\vec e_{\phi} & 
\end{array}
\right.

Si l’on ne passe pas par l’intermédiaire de la jacobienne, pour normaliser ensuite, on utilise la notation "e" des vecteurs au lieu de "\varepsilon".

Relativement au repère sphérique  (M,\vec e_R, \vec e_{\phi}, \vec e_{\theta}) , au point M, tout vecteur  \vec V s’écrit sous la forme :  \vec V = V_R \vec e_R + V_{\phi} \vec e_{\phi}+ V_{\theta} \vec e_{\theta}.

erreur fréquente V_R, V_{\phi}, V_{\theta} sont des fonctions du point M, c’est-à-dire des coorodonnées de M. V_R, V_{\phi}, V_{\theta} peuvent donc être des fonctions de  x, y, z comme de  r ,\theta, z ou de  R ,\phi, \theta . Ceci n’a pas trop d’importance. Toutefois, en pratique, l’utilisation des coordonnées sphériques s’avère simplificatrice lorsque le problème présente une symétrie sphérique. Dans ce cas, il est souvent plus commode, plus intuitif et/ou plus cohérent d’exprimer V_R, V_{\phi}, V_{\theta} en fonction de  R ,\phi, \theta .
pour aller plus loin
Voir sur le Site de P. Aimé
Le chapitre 13 Calcul différentiel d’ordre un.