Opérateur Nabla - epiphys

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Opérateur Nabla

Description :

Symbole utilisé dans de nombreux ouvrages, l’opérateur nabla (noté  \vec \nabla ) tire du gradient son origine et ses expressions dans les repères locaux habituels.

Intention pédagogique :

Définir l’opérateur nabla, et l’expliciter en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU Pierre AIME .


introduction Il est supposé que l’on est familier des notions et des définitions de repère local cartésien, cylindrique et sphérique. Les notations et principaux résultats sont rappelés dans l’article Tableau des coordonnées locales usuelles.

situation-problématique Dans l’article gradient, le vecteur gradient d’un champ scalaire f en un point a a été défini, indépendemment de tout système de coordonnées.

Les données a et f ont un rôle différent. Si le point a varie, on obtient un champ de vecteurs, le champ gradient de f,  \overrightarrow {grad} f.

Si f varie, une propriété supplémentaire apparait. Laquelle ?

discussion C’est la linéarité. En effet, si f, g sont des champs scalaires, et \lambda un réel, la linéarité de la différentielle (voir l’article transposer intitulé "Opérations algébriques sur les fonctions différentiables" dans le concept Différentielle montre que :

 \overrightarrow {grad} (f+g) = \overrightarrow {grad} f+\overrightarrow {grad} g

\overrightarrow {grad} (\lambda \,f) = \lambda\, \overrightarrow {grad} f

En conclusion, l’application f \mapsto \overrightarrow {grad} f qui à tout champ scalaire f fait correspondre le champ vectoriel \overrightarrow {grad} f est une application linéaire, définie sur l’espace vectoriel des champs scalaires C^1 sur une partie ouverte donnée U de {{R}}^n, et à valeurs dans l’espace vectoriel des champs de vecteurs sur U.

Cette application linaire est appelée l’opérateur gradient.

Remarque.
En mathématique comme en physique (notamment quantique), le terme "opérateur" est plutôt réservé aux applications linéaires continues d’un espace vectoriel de dimension infinie dans lui même, ce qui n’est pas le cas ici. Toutefois, les dimensions sont bien infinies, c’est d’ailleurs la raison pour laquelle nous ne parlerons pas de la continuité de l’opérateur gradient, ce serait une discussion qui dépasse le niveau de cet article.

situation-problématique

L’opérateur gradient \mathbf { \overrightarrow {grad} } permet donc de construire un champ vectoriel à partir d’un champ scalaire différentiable f. Il est également noté  \vec \nabla (prononcer nabla) de sorte que  \overrightarrow {grad}\  f s’écrit aussi  \vec \nabla  f. Ce n’est pas juste un changement de notation pour alléger les écritures...

L’opérateur  \vec \nabla  sert en effet à construire deux autres opérateurs :
- L’opérateur divergence.
- L’opérateur rotationnel.

Comment s’exprime cet opérateur  \vec \nabla dans les différents systèmes de coordonnées ?

discussion L’expression des coordonnées de  \vec \nabla dans les repères locaux cartésiens, cylindriques et sphériques provient directement de la définition du gradient d’un champ scalaire f et de l’expression du gradient en coordonnées locales.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes :

 \vec \nabla = \vec e_x \ \frac{\partial{}}{\partial{x}} + \vec e_y \ \frac{\partial{}}{\partial{y}} +\vec e_z \ \frac{\partial{}}{\partial{z}}

Ainsi, en coordonnées cylindriques :

 \vec \nabla = \vec e_r \ \frac{\partial{}}{\partial{r}}+ \vec e_{\theta} \ \frac{1}{r} \frac{\partial{}}{\partial{{\theta}}} + \vec e_z \ \frac{\partial{}}{\partial{z}}

Ainsi, en coordonnées sphériques (attention ci-dessous, notations du physicien...) :

 \vec \nabla = \vec e_R \ \frac{\partial{}}{\partial{R}}+ \vec e_{\Phi} \ \frac{1}{R} \frac{\partial{}}{\partial{{\Phi}}} + \vec e_{\theta}\ \frac{1}{R \sin {\Phi}} \frac{\partial{}}{\partial{\theta}}



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