Accroissements finis (une variable) - epiphys

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Accroissements finis (une variable)

Description :

Enoncé et démonstration du théorème des accroissements finis pour les fonctions réelles d’une variable réelle, application au théorème de prolongement des dérivées.

Intention pédagogique :
Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé

Dans cet exercice, on démontre successivement les théorèmes de Rolle, des Accroissements finis, et le théorème de prolongement des fonctions dérivées, pour les fonctions réelles d’une variable réelle, définies sur un intervalle.

  1. Démontrer que si une fonction f est dérivable sur un intervalle ouvert I, et admet un extremun (maximum ou minimum) en un point a \in  I, alors f^{ '  }\left( a\right) =0.
  2. Démontrer que si une fonction f est continue sur un segment  \left [ a,b \right ] et dérivable sur  \left ] a,b \right [ , avec f\left( a\right) =f\left( b\right) , alors il existe c \in   \left ] a,b \right [ tel que f^{ ' }\left( c\right) =0 (Théorème de Rolle).
    Indication : on peut supposer f non constante, pourquoi ?. f admet alors un maximum en un point c \in   \left ] a,b \right [ (pourquoi c est-il distinct des extrémités a,b ?).
  3. (Egalité des accroissements finis) Démontrer que si une fonction f est continue sur un segment  \left [ a,b \right ] et dérivable sur  \left ] a,b \right [ , alors il existe c \in   \left ] a,b \right [ tel que

    f\left( b\right) -f\left( a\right) =f^{ '  }\left( c\right)  \left ( b-a \right ) .


    Indication : on retranche à f la fonction g, affine, qui passe par les points  \left ( a,f\left( a\right)  \right ) et  \left ( b,f\left( b\right)  \right ) . Commencer par établir l’expression de g\left( x\right) .
  4. (Inégalité des accroissements finis) Il résulte de l’égalité des accroissements finis que si une fonction f est continue sur un segment  \left [ a,b \right ] et dérivable sur  \left ] a,b \right [ , et s’il existe un réel M>0 tel que  \left { \mid f^{ ' }\left( x\right)  \right {\mid  \leq  M} pour tout x \in   \left ] a,b \right [ , alors

    f\left( b\right) -f\left( a\right)  \leq  M \left ( b-a \right )  \textrm{.}


  5. (Théorème de prolongement des dérivées). Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a \in  I. On suppose que
    - f est continue sur I,
    - f est dérivable sur J=I \backslash   \left  \{  a \right  \}  ,
    -  \lim_{x \rightarrow  a}{f^{ '  }}\left( x\right) existe (on note l cette limite).
    Alors, f est dérivable au point a, et f^{ '  }\left( a\right) =l (la fonction f^{ '  } est donc continue au point a).
    Démontrer cette propriété en appliquant l’inégalité des accroissements finis à la fonction g\left( x\right) =f\left( x\right) -lx sur un intervalle  \left [ a,b \right ] ou  \left [ b,a \right ] sur lequel  \left {\mid} f^{ ' }\left( x\right) -l \right {\mid}  \leq   \varepsilon  ,  \varepsilon  étant un réel >0 fixé quelconque.

Remarques :
- Le théorème de prolongement des dérivées s’étend de manière évidente au cas où la fonction f est à valeurs dans  \mathbb{R} ^{n}.
- C’est en raison du théorème de prolongement des dérivées que la dérivabilité aux bornes n’est pas une hypothèse dans les théorèmes de Rolle et des accroissements finis.