Lois de transfert diffusif - epiphys

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Lois de transfert diffusif

Description :

Cet article présente le modèle général associé aux phénomènes de transfert par diffusion moléculaire.

Intention pédagogique :

Donner un exemple d’occurrence de l’opérateur gradient en physique. Revenir sur la notion de potentiel. Donner une origine physique à la présence d’un signe "-" dans de nombreuses relations faisant intervenir le gradient d’un potentiel.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction L’opérateur "gradient" et ses principales propriétés sont connues.

situation-problématique Lorsque l’on dépose délicatement une goutte d’encre à mi-hauteur dans un verre d’eau, en l’absence d’agitation mécanique "forcée" on voit clairement l’encre "diffuser" lentement de l’endroit où la goutte a été déposée vers les zones d’eau claire où la concentration en encre est nulle. Au bout d’un certain temps (relativement long) la concentration en encre se sera homogénéisée dans le verre et les processus de diffusions s’arrêteront d’eux mêmes. On parle ici de diffusion moléculaire car le mélange de l’encre avec l’eau est uniquement dû au mouvement des molécules d’encre.

De manière similaire, dans un milieu solide ou dans un fluide au repos "la chaleur va diffuser spontanément des points chauds vers les points froids". Ce phénomène est dû au mouvement d’agitation des molécules qui, à l’échelle des molécules justement, va se transmettre des points où les molécules sont les plus agitées vers les points où elles le sont moins, les atomes des premières et les premières elles-mêmes perdant une partie de leur énergie cinétique pour le céder aux molécules voisines moins agitées.

Ces deux phénomènes de transferts, l’un de masse et l’autre d’énergie, sont appelés phénomènes de transfert par diffusion moléculaire car la masse et l’énergie sont transférées des zones les plus concentrées en masse ou en énergie vers les zones les moins concentrées, de proche en proche, par diffusion entre les molécules. On sent donc bien que le phénomène (son intensité et sa direction) dépendent du point où l’on se trouve et des variations spatiales d’une "quantité motrice" autour de ce point. Il n’y a donc pas loin de là à penser que ce mécanisme va pouvoir être modélisé à l’aide du vecteur gradient...

Ces phénomènes interviennent dans les équations de Bilans matière ou énergie, d’où l’importance d’en maîtriser le sens.

discussion Effectivement, les mécanismes de transfert par diffusion moléculaire sont généralement décrits par une loi dont le modèle est :


\boxed {\vec j = - k \ \overrightarrow{grad} \ (H)}

où :

-  \vec j est le vecteur densité de courant de diffusion. C’est aussi une densité surfacique de flux.
- k est un paramètre physique propre au mécanisme considéré et au milieu dans lequel s’effectuent les transferts. Ce paramètre est un champ scalaire a priori fonction des coordonnées d’espace.
- H est le potentiel moteur des transferts considérés. C’est un champ scalaire.

Les lois de Fick pour modéliser les transferts diffusifs de matière (on dit aussi de masse) et de Fourier pour modéliser les transferts diffusifs de chaleur utilisent le schéma ci-dessus :

loi de Fick :

Pour une espèce chimique A dans un milieu B, en tout point M(x,y,z), la densité de courant de diffusion de l’espèce A dans le milieu B \vec \j_A (x,y,z)  [1]est orientée à l’opposé du vecteur  \overrightarrow{grad} \ (C_A) au point considéré. En tout point M, la densité de courant de diffusion est donc orientée dans le sens de la décroissance la plus rapide de la concentration en espèce A à partir du point considéré. La diffusion se fait donc des points de plus forte concentration vers les zones de moindre concentration (d’où le signe "-" devant le vecteur gradient qui, quant à lui, est orienté dans le sens de la croissance la plus rapide de C_A à partir de M).


\vec \j_A = - D_{AB} \ \overrightarrow{grad} \ (C_A)

où :

- \vec \j_A et  C_A sont des fonctions de champ.
- D_{AB} est ici une constante car le milieu B a été supposé homogène.
- L’unité de \vec \j_A est mole/(s.m2) ce qui exprime bien une quantité de matière passant par seconde au travers de l’unité de surface (il s’agit donc bien d’une densité surfacique de flux exprimable en (mole/s) / m2).
- D_{AB} est le coefficient de diffusion de l’espèce A dans le milieu B. Ce coefficient est exprimé en m2s-1. Il représente la facilité avec laquelle une espèce diffuse dans une autre. Ce coefficient dépend de A, de B, de la température, etc. Ce coefficient est de l’ordre de 10-5 pour la diffusion d’un gaz dans un autre.
- La concentration C (ici C_A) est bien le moteur de la diffusion. C’est l’éventuelle existence d’inhomogénéités spatiales de concentration qui a le pouvoir (d’où la notion de potentiel plus haut) de faire apparaître naturellement de la diffusion. Tant qu’il y aura des inhomogénéités de concentration, il y aura possibilité de diffusion moléculaire (et même diffusion tout court si rien n’est fait pour l’empêcher).

Enfin, il est clair que l’on accède aisément au flux de l’espèce A (en mole/s) au travers d’une surface S quelconque à partir de la somme (ou l’intégrale) des flux élémentaires au travers de surfaces élémentaires dS :

\Phi_A = \int \!\!\!\! \int_S (\vec \j_A  \cdot \vec n dS )

qui est une quantité scalaire !



loi de Fourier :

A partir de tout point M(x,y,z) d’un milieu matériel donné (le vide et les milieux raréfiés sont exclus), on peut observer un transfert spontané d’énergie thermique par conduction qui est représenté par la densité de courant de diffusion thermique \vec \j(x,y,z)  [2]. Cette densité de courant est orientée à l’opposé du vecteur  \overrightarrow{grad} \ (T)T est la température au point considéré. En tout point M, la densité de courant de diffusion thermique est donc orientée dans le sens de la décroissance la plus rapide de la température à partir du point considéré. Les transferts d’énergie se font des températures élevées vers les basses températures (d’où le signe "-" devant le vecteur gradient qui, quant à lui, est orienté dans le sens de la croissance la plus rapide de T à partir de M). Ceci s’écrit :


\vec \j = - \lambda \ \overrightarrow{grad} \ (T)

où :

- \vec \j et T sont des fonctions de champ.
- \lambda est une constante si le milieu considéré est homogène.
- L’unité de \vec \j est J/(s.m2) ce qui exprime bien une quantité d’énergie passant par seconde au travers de l’unité de surface (il s’agit donc bien d’une densité surfacique de flux exprimable en (J/s) / m2).
- \lambda est la conductivité thermique du milieu. Ce coefficient est exprimé en Jm-1K-1s-1. Il représente la capacité d’un milieu à laisser passer un courant thermique (i.e. la chaleur) [3]. Ce coefficient dépend du milieu considéré et peut dépendre lui-même de la température (au travers des modifications structurelles d’un milieu avec la température). Ce coefficient peut varier de 10-2 pour des isolants à quelques centaines pour de très bons conducteurs de chaleur (et entre 1000 et 2500 pour le diamant !).
- La température T est bien le moteur de la diffusion de chaleur par conduction. C’est l’éventuelle existence d’inhomogénéités spatiales de température qui a le pouvoir (d’où la notion de potentiel) de générer spontanément un transfert d’énergie thermique [4] dans un milieu donné. Tant qu’il y aura des inhomogénéités de température dans ce milieu, il y aura possibilité de transfert de chaleur par conduction (et même transfert de chaleur spontané tout court si rien n’est fait pour l’empêcher).

Enfin, il est clair que l’on accède aisément au flux d’énergie thermique par conduction (en J/s) au travers d’une surface S quelconque à partir de la somme (ou l’intégrale) des flux élémentaires au travers de surfaces élémentaires dS :

\Phi= \int \!\!\!\! \int_S (\vec \j  \cdot \vec n dS )

qui est une quantité scalaire exprimée en J/s. Un flux de chaleur a donc la dimension d’une puissance...

pour aller plus loin Recherchez autour de vous d’autres lois de la forme \vec \Phi = - k \ \overrightarrow{grad} \ (H) (transfert de quantité de mouvement - loi de Newton - où la quantité de mouvement est transformée en une contrainte, i.e. une force par unité de surface...)
pour aller plus loin On parle souvent de transfert de connaissances/compétences. Pensez-vous que l’on puisse modéliser un transfert de connaissances entre individus par un modèle du type transfert diffusif, les individus étant considérés comme des molécules ? ...