Divergence d'un vecteur en coordonnées cartésiennes - epiphys

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Divergence d’un vecteur en coordonnées cartésiennes

Description : Méthode de calcul de  div \ \vec V en coordonnées cartésiennes.
Intention pédagogique : Donner la méthode de calcul de la divergence d’un champ de vecteur connaissant l’expression des vecteurs de ce champ dans un repère cartésien.
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé : 10 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Dans cet article, on manipule l’opérateur nabla ( \vec \nabla ) qui a été défini dans l’article calculer intitulé ’Vecteur Nabla’ du concept Gradient et dont on a présenté les différentes expressions en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Cet opérateur permet aussi de calculer le rotationnel d’un vecteur.



situation-problématique L’opérateur divergence permet de construire un champ scalaire  D(M) à partir d’un champ vectoriel  \vec V (M) ( \vec V aura les propriétés de dérivabilité qu’il convient). Comment s’exprime en un point M la divergence d’un vecteur  \vec V(M) lorsque l’on travaille en coordonnées cartésiennes, cylindriques , sphériques  ?
discussion Dans un système de coordonnées cartésiennes, on obtient l’expression de la divergence de  \vec V = V_x(x,y,z) \vec e_x + V_y(x,y,z) \vec e_y + V_z(x,y,z) \vec e_z en tout point M(x,y,z) en effectuant formellement le produit scalaire de  \vec \nabla par  \vec V à partir de leur expression en coordonnées cartésiennes. Ainsi, on a :

 D(M) = div \ \vec V = \vec \nabla \cdot \vec V


D (M) = div \ \vec V = \left( \vec e_x \ \frac{\partial{}}{\partial{x}} + \vec e_y \ \frac{\partial{}}{\partial{y}} +\vec e_z \ \frac{\partial{}}{\partial{z}} \right) \cdot \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right)


\begin{array}{llll}
D(M) &=& div \ \vec V & = \displaystyle \vec e_x \cdot  \frac{\partial{}}{\partial{x}} \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right) \\
&&& \displaystyle + \ \vec e_y \cdot \frac{\partial{}}{\partial{y}} \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right) \\
&&& \displaystyle + \ \vec e_z  \cdot \frac{\partial{}}{\partial{z}}\left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right)
\end{array}

Soit :
 \boxed { D(M) = div \ \vec V = \frac{\partial{V_x}}{\partial{x}} +\frac{\partial{V_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{V_z}}{\partial{z}} }

Le résultat est bien un scalaire !!