Rotationnel d'un vecteur en coordonnées cartésiennes - epiphys

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Rotationnel d’un vecteur en coordonnées cartésiennes

Description :

Méthode de calcul de  rot \ \vec V en coordonnées cartésiennes.

Intention pédagogique :

Donner la méthode de calcul du rotationnel d’un champ de vecteur connaissant l’expression des vecteurs de ce champ dans un repère cartésien.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

15 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Dans cet article, on manipule l’opérateur nabla ( \vec \nabla ) qui a été défini dans l’article calculer intitulé ’Vecteur Nabla’ du concept Gradient et dont on a présenté les différentes expressions en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Cet opérateur permet aussi de calculer la divergence d’un vecteur.



situation-problématique L’opérateur rotationnel permet de construire un champ vectoriel  \vec R (M) à partir d’un champ vectoriel  \vec V (M) ( \vec V aura les propriétés de dérivabilité qu’il convient). Comment s’exprime en un point M le rotationnel d’un vecteur  \vec V(M) lorsque l’on travaille en coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques ?
discussion Dans un système de coordonnées cartésiennes, on obtient l’expression du rotationnel de  \vec V = V_x(x,y,z) \vec e_x + V_y(x,y,z) \vec e_y + V_z(x,y,z) \vec e_z en tout point M(x,y,z) en effectuant formellement le produit vectoriel de  \vec \nabla par  \vec V à partir de leur expression en coordonnées cartésiennes. Ainsi, on a :

 \vec R (M) = rot \ \vec V = \vec \nabla \times \vec V


\vec R (M) = rot \ \vec V = \left( \vec e_x \ \frac{\partial{}}{\partial{x}} + \vec e_y \ \frac{\partial{}}{\partial{y}} +\vec e_z \ \frac{\partial{}}{\partial{z}} \right) \times \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right)


\begin{array}{llll}
\vec R (M) &=& rot \ \vec V & =  \displaystyle \vec e_x \times  \frac{\partial{}}{\partial{x}} \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right) \\
&&&  \displaystyle + \ \vec e_y \times \frac{\partial{}}{\partial{y}} \left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right) \\
&&&  \displaystyle + \ \vec e_z  \times \frac{\partial{}}{\partial{z}}\left( V_x \vec e_x + V_y \vec e_y + V_z \vec e_z \right)
\end{array}

Soit :
 \boxed { \vec R(M) = rot \ \vec V = \left( \frac {\partial{V_z}}{\partial{y}} - \frac {\partial{V_y}}{\partial{z}} \right) \vec e_x + \left( \frac {\partial{V_x}}{\partial{z}} - \frac {\partial{V_z}}{\partial{x}} \right) \vec e_y+ \left( \frac {\partial{V_y}}{\partial{x}} - \frac {\partial{V_x}}{\partial{y}} \right) \vec e_z }

Le résultat est bien un vecteur !!

notation Le produit vectoriel de deux vecteurs \vec A et  \vec B est noté  \vec A \times \vec B en référence à la terminologie anglosaxonne cross product pour produit vectoriel.
notation En notation anglosaxonne  rot \ \vec V s’écrit  curl \ \vec V .