Formule du rotationnel - epiphys

Global Local Liste Concept

Formule du rotationnel

Description :

La formule du rotationnel (ici sous sa forme la plus connue) permet de passer d’une intégrale simple à une intégrale double

Intention pédagogique :

Donner la formule du rotationnel et faire un lien avec les champs conservatifs en mécanique.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

25 minutes

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU .


introduction Les concepts de champ, de circulation et de flux sont connus.

situation-problématique La formule de la divergence (dite aussi d’Ostrogradsky ou de Green) permet de passer d’une intégrale de surface à une intégrale de volume (voir l’article Formule de la divergence). Existe-t-il une relation similaire qui permette depasser d’une intégrale simple (le long d’une courbe) à une intégrale double (sur une surface) et vice-versa ?
discussion Oui, une telle relation existe. Il s’agit de la formule du rotationnel qui est un cas particulier du théorème de Stokes.

Cette formule relie la circulation d’un champ vectoriel \vec U le long d’un contour C (une courbe fermée) à l’intégrale du rotationnel de ce champ vectoriel sur toute surface S s’appuyant sur C ou, autrement dit, ayant C pour frontière [1].

De manière pratique, si l’on suppose que le champ vectoriel \vec U considéré est C1 sur le domaine d’étude considéré, on a :

\oint_{C}{\vec U \cdot \vec t \ dl}=\iint_{S}{\overrightarrow{rot}  (\vec U) \cdot \vec n \ dS}

où l’on rappelle qu’en tout point M du contour fermé C, le vecteur \vec t (sous-entendu \vec t(M)) est tangent à C (\vec t dl est souvent noté  \overrightarrow {dl} ).

ce qu'il faut retenir Formule permettant de passer d’une intégrale le long d’un contour fermé à une intégrale sur une surface ayant ce contour pour frontière :

\boxed {\oint_{C}{\vec U \cdot \vec t \ dl}=\iint_{S}{\overrightarrow{rot} (\vec U) \cdot \vec n \ dS} }

Attention, il faut que le rotationnel soit bien défini en tout point car la formule doit être valable pour toute surface !!

A la physicienne, on retiendra qu’à gauche du signe égal on a une intégrale simple. A droite du signe égal on a augmenté le degré de l’intégrale (elle est maintenant double) en même temps que l’on a diminué le degré de la quantité intégrée (via l’opérateur rot qui implique une dérivation). On conserve le "degré initial", c’est cohérent... [2].

En pratique, la formule du rotationnel permet de passer de la circulation d’un champ vectoriel le long d’un contour fermé à l’intégrale d’un autre champ vectoriel à travers une surface, c’est-à-dire à un flux.

Il y a correspondance entre le sens positif le long du contour et l’orientation de la normale à la surface à la surface.

notation Les appellations ci-dessous sont équivalentes ou, du moins, fréquemment utilisées l’une pour l’autre dans de nombreux ouvrages :

- Formule du rotationnel
- Formule de Stokes

question remue-méninges Considérons le cas particulier d’un champ vectoriel dont le rotationnel serait nul en tout point. Dans ce cas le flux du rotationnel à travers n’importe quelle surface S est nul. Par voie de conséquence, la circulation du champ \vec U le long de tout contour fermé est aussi nulle. Que peut-on alors dire du champ \vec U ?
ce qu'il faut retenir Tout champ dont le rotationnel est nul (sous-entenu en tout point M, \overrightarrow{rot} (\vec U)_M = 0 est un champ conservatif.

Réciproquement, pour montrer qu’un champ est conservatif, il suffit de montrer que son rotationnel est nul (sous-entendu en tout point).