Nappes paramétrées - orientabilité - epiphys

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Nappes paramétrées - orientabilité

Description :

Paramétrisation de la surface de Möbius, existence d’un champ normal discontinu.

Intention pédagogique :

Utiliser les dérivées partielles pour l’étude des propriétés d’une nappe paramétrée, introduction à un aspect de l’orientabilité.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé (o,i,j,k) est un repère orthonormé de l’espace affine euclidien \mathbb{E} de dimension 3, ce repère oriente l’espace. \Sigma est la nappe paramétrée par F(u,v)=\left( x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)

\begin{eqnarray*}
x(u,v) &=&(2+\sin u\,\cos v)\,\cos 2v \\
y(u,v) &=&(2+\sin u\,\cos v)\,\sin 2v \\
z(u,v) &=&\sin u\,\sin v
\end{eqnarray*}

\Sigma est appelée surface de Möbius.

avec (u,v)\in \Delta =\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \times \left[ -\pi ,\pi \right] .

  1. Calculer \partial _{u}F,\,\,\partial _{v}F,\,\,\left\| \partial_{u}F\right\| ^{2},\,\,\left\| \partial _{v}F\right\| ^{2},\,\,<\partial_{u}F,\partial _{v}F> dans l’ouvert \overset{\circ }{\Delta}.
  2. Si (a,b)\in \Delta , déterminer l’ensemble des (u,v)\in \Delta tels que F(u,v)=F(a,b).
  3. Pour un réel fixé b\in \left[ -\pi ,\pi \right] , on note \gamma_{b} la ligne coordonnée u\mapsto F(u,b). Reconnaître l’image \gamma _{b}\left( \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \right) (On pourra poser t=\sin u), et calculer la longueur de cette courbe.
  4. Les figures ci-dessous représentent les segments d’extrémités A_b
= F(-\frac{\pi }{2},b) et A_b
= F(\frac{\pi }{2},b), et leurs projections orthogonales sur le plan (o,i,j).
    Déterminer le plan tangent aux points intérieurs à \Sigma , et donner les coordonnées d’un vecteur normal unitaire n(v) au point F(0,v).
    L’arc paramétré par v \mapsto F(0,v) est noté \call C. Existe-il un champ de vecteurs unitaires continu, le long de \call C, normal à \Sigma en tout point ?