Difféomorphismes et homéomorphismes - un exemple. - epiphys

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Difféomorphismes et homéomorphismes - un exemple.

Description :

Exemple d’homéomorphisme qui n’est pas un difféomorphisme.

Intention pédagogique :

Mise en oeuvre des propriétés des différentielles pour traiter un contre-exemple.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé
f est l’application définie sur la boule euclidienne unité ouverte D de  \mathbb{R} ^{n} par

f\left( v\right) = \left  \|  v \right  \|  ^{2}v\textrm{.}


  1. Démontrer que f est injective (utiliser le fait que v et f\left( v\right)  sont colinéaires), et que f \left ( D \right )  \subset  D.
  2. Vérifier que f est une bijection de D sur D dont la réciproque est définie par

    f^{-1} \left ( V \right ) =\left\{\begin{array}_\|V\|^{-\frac{2}{3}} \textrm{ si } V \neq0 \\0 \textrm{ si } V =0.\end{array}

  3. Justifier (sans calculs) la continuité de f et de f^{-1} en tout point de D autre que 0, et prouver la continuité de f puis de f^{-1} en 0.
  4. Prouver que f est C^1 sur D, et calculer sa différentielle.
  5. Notons D^* le complémentaire de l’origine dans D. Démontrer que f est un C^1-difféomorphisme de D^* sur D^*, mais que f^{-1} n’est pas différentiable à l’origine.