Rang et différentiabilité - epiphys

Global Local Liste Concept

Rang et différentiabilité

Description :

Démonstration du théorème d’inversion globale, extension aux théorèmes d’inversion locale et du rang constant.

Intention pédagogique :

Mise en oeuvre du théorème du point fixe pour la démonstration de deux théorèmes fondamentaux en l’analyse et en géométrie différentielle.


Niveau :
L3
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Le théorème d’inversion globale Difféomorphisme est en fait un corollaire d’un théorème qui est l’objet principal de cet article, qui ne donne qu’une conclusion locale, mais dont les hypothèses sont plus simples à vérifier.

propriété Proposition (Théorème d’inversion locale). Soit f une application de classe C^1, définie sur un ouvert U \subset {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^n, et a un point de U en lequel la différentielle d_{a}f est une bijection linéaire.

Alors, il existe

  • un voisinage ouvert W de a, inclus dans U,
  • un voisinage ouvert V de b=f(a)

tels que la restriction de f à W est un C^1-difféomorphisme de W sur V.

Corollaire (Théorème d’inversion globale). Si f est une application injective et de classe C^1, définie sur un ouvert U \subset {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^n, si de plus la différentielle d_{a}f en chaque point a \in U est une bijection linéaire, alors f(U) est ouvert et f est un C^1-difféomorphisme de U sur f(U).

question remue-méninges Le théorème d’inversion locale s’applique-t-il à la fonction suivante, sur {{R}}^n ?

 f(x,y,z)=(x+y^2,y+z^2,z+x^2)

La démonstration de ce théorème, ainsi qu’une importante conséquence, appelée théorème du rang constant, sont présentées dans le fichier joint demo9.pdf.

pour aller plus loin
  • Le théorème des fonctions implicites en dimension 2 art, et en dimension 3 art sont des corollaires du théorème d’inversion locale.
  • Le théorème d’inversion locale est l’outil qui permet de démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence des solutions locales d’une équation différentielle (article en préparation).
  • Le théorème de rang permet (entre autres) de caractériser les sous-variétés de dimension un (courbes) et deux (surfaces) (article en préparation).