Calculs de développements limités (2) - epiphys

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Calculs de développements limités (2)

Description :

calculs de DL

Intention pédagogique :

Savoir calculer un DL quand Taylor-Young ne s’utilise pas directement.

A partir du DL, savoir déterminer une limite, une tangente ou la position de la tangente/courbe.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode
définition D’après Taylor-Young, le développement limité (DL) d’ordre n en x_0 d’une fonction f admettant en ce point une dérivée d’ordre n, est :

\forall x \in V_{x_0}, f(x)= \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!} f^{(k)}(x_0) +o((x-x_0)^n)

On notera
notation DL_n(f) en x_0

Si la fonction f n’est pas définie ou n’admet pas une dérivée d’ordre n en x_0, déterminer son DL d’ordre n en x_0 en utilisant la formule de Taylor-Young, est impossible.

Cependant le DL peut être certaines fois calculé en essayant :

  • un changement de variable.
  • de se ramener aux DL d’autres fonctions.

attention, certaines fonctions n’admettent pas de DL_n en une valeur donnée. Par exemple, f(x)=\frac{1}{x} n’admet pas de DL en 0.

exemple Déterminer le DL en 0 de f(x) =\frac{1-\sqrt{1+x}}{x+2x^2} .

En déduire la limite f en 0, la tangente à f en 0, la position de f par rapport à cette tangente au voisinage de 0.

question remue-méninges quel doit être l’ordre du DL ?

f n’étant pas définie en 0, la formule de Taylor-Young ne s’applique pas. Mais f est le rapport de deux fonctions qui admettent des DL en 0. De plus : DL_n(f)=DL_n(\frac{DL_n(g)}{DL_n(h)}).

question remue-méninges quels doivent être les ordres des DL pour que l’ordre du DL(f) soit 2 ?

\forall x \in V_{0},

\sqrt{1+x}=1+ \frac{x}{2}- \frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)

1-\sqrt{1+x}=- \frac{x}{2}+ \frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3)

x+2x^2=x+2x^2+o(x^3)

Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont des fonctions polynomiales. Pour obtenir le DL, nous allons faire la division de ces deux polynômes. Pour avoir des restes de plus en plus petit, il faut donc faire disparaitre les termes les plus grands.

  • AuV_{0}, , plus la puissance du terme est grande, plus le terme est petit.
  • En posant une division de polynômes, les termes qui sont à gauche sont ceux qui disparaissent.

Nous allons faire une division par puissances croissantes. Dans cette division, je veux un reste négligeable devantx^2, la précision du DL de f.

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\forall x \in V_{0}, f(x)=-\frac{1}{2}+\frac{9}{8}x-\frac{37}{16}x^2+o(x^2)

En conclusion :

  • \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=-\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2}+\frac{9}{8}x-\frac{37}{16}x^2=-\frac{1}{2}
  • la tangente en 0 à f est y=-\frac{1}{2}+\frac{9}{8}x
  • Au voisinage de 0, f(x)-(-\frac{1}{2}+\frac{9}{8}x)=-\frac{37}{16}x^2+o(x^2). Or, pour x au voisinage de 0, nous pouvons noter o(x^2) = -\frac{37}{16}x^2.\epsilon(x)\lim_{x \rightarrow 0}\epsilon(x)=0. Nous pouvons écrire alors : \forall x \in V_{0}, f(x) -(-\frac{1}{2}+\frac{9}{8}x)=-\frac{37}{16}x^2+o(x^2)=-\frac{37}{16}x^2(1+\epsilon(x)). D’après la condition sur la fonction \epsilon au voisinage de 0, nous pouvons dire que \exists V_{0}, \forall x \in V_{0}, (1+\epsilon(x))>0. Ainsi \forall x \in V_{0}, la différence  f(x) -x est négative. La courbe est donc sous sa tangente au voisinage de 0.
énoncé Déterminer le DL en +\infty de f(x) =(x^3+x^2+1)^\frac{1}{3}-\sqrt{x^2-x-1} .

En déduire la limite de f en +\infty, son asymptote en +\infty, la position de f par rapport son asymptote.