Nappes paramétrées, vecteurs tangents (II) - epiphys

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Nappes paramétrées, vecteurs tangents (II)

Description :

Brève étude de l’ensemble des vecteurs tangents à une nappe paramétrée.

Intention pédagogique :

Approfondir l’étude du plan tangent à une surface commencée dans le concept Dérivées partielles Nappes paramétrées, plans tangents (I), en fonction du rang de la différentielle de la paramétrisation.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Le plan tangent en un point à une nappe paramétrée est, lorsqu’il existe, engendré par les vecteurs dérivées partielles de la paramétrisation. Cette situation n’est que l’un des cas pouvant se produire, on approfondit le sujet dans cet article en reprenant la question au début.

situation-problématique Qu’est-ce qu’un vecteur tangent à une nappe paramétrée ?

Supposons donnée une nappe paramétrée (u,v) \mapsto F(u,v) de l’espace {{R}}^3. La paramétrisation F est définie sur un ouvert U de {{R}}^2, de classe C^1, et ses projections sont (x(u,v),  y(u,v), z(u,v)).

La nappe sera notée \Sigma, et m_0 = F(u_0 , v_ 0) est un point de \Sigma.

Rappelons que la paramétrisation est dite cartésienne si u et v sont deux des trois coordonnées de l’espace, par exemple pour une nappe paramétrée par (x,y) on écrira F(x,y) = (x,y,f(x,y)) ou F(x,y) = (x,y,z(x,y)).

erreur fréquente Ne pas confondre les fonctions f et F.
définition Définitions
  1. Un arc tracé sur \Sigma, passant par m_0 = F(u_0 , v_ 0) est un arc paramétré (I,\gamma) de l’espace, de la forme

    \gamma (t)=F(u(t),v(t)) \text {\; avec \;} \gamma (0)= m_0

    \alpha(t)=(u(t),v(t)) est un arc plan dont le support est inclus dans U, tel que \alpha (0)=(u_0 , v_ 0). Les fonctions \alpha, \gamma,F sont suposées de classe C^1.
  2. Un vecteur tangent à \Sigma en m_0 est un vecteur dérivé en 0 d’un arc tracé sur \Sigma, passant par m_0, il est donc de la forme

    \gamma '(0) = d_{(u_0 , v_0)} F (\alpha ' (0)) = u'(0) \partial F _u  (u_0 , v_0) + v'(0) \partial F _v  (u_0 , v_0).

  3. L’espace tangent T_{m_0}\Sigma à \Sigma en m_0 est le sous-espace affine de {{R}}^3 passant par m_0, dirigé par le sous-espace image de {{R}}^2 par la différentielle d_{(u_0 , v_0)} F .
  4. Le point m_0 = F(u_0 , v_ 0) est dit régulier si l’espace tangent T_{m_0} \Sigma est un plan.

T_{m_0}\Sigma est donc aussi l’ensemble des vecteurs tangents à tous les arcs tracés sur \Sigma passant par m_0, en particulier il contient les vecteurs dérivées partielles \partial F _u  (u_0 , v_0) et \partial F _u  (u_0 , v_0) tangents aux lignes coordonnées, images par F des droites t \mapsto (u_0+t,v_0) et t \mapsto (u_0,v_0 + t).

T_{m_0}\Sigma est un point, une droite, un plan, selon que le rang de F en a=(u_0 , v_0) est 0,1,2.

erreur fréquente T_{m_0} \Sigma est relatif au couple des paramètres (u_0 , v_ 0), autrement-dit au point paramétré et non au point géométrique. En particulier, si m est un point double, m=F (u_0 , v_ 0)= F (u_1 , v_ 1).
question remue-méninges Quels sont les points non réguliers pour les nappes représentées ci-dessous, paramétrées respectivement par

 F(u,v)=(u^2,v^2,uv)

et

 G(u,v)=(u+v,u^2 + v^2, u^2 - v^2 )

et quels sont les espaces tangents en ces points.
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ce qu'il faut retenir On retiendra les raisonnements suivants :
  • Le rang de la matrice jacobienne de F en un point a=(u_0 , v_ 0) est le nombre de colonnes indépendantes, et le sous-espace image de d_a F est le sous-espace engendré par ces deux vecteurs colonnes.
  • Ces deux colonnes étant les deux vecteurs dérivée partielle de F en a, le point est régulier si et seulement si ces deux vecteurs sont non nuls et non colinéaires, il est commode de traduire cette condition avec le produit vectoriel :

    n(a)=\partial _u F(a) \times \partial_v F(a) \neq 0

  • Pour une paramétrisation cartésienne, tous les points sont réguliers.
  • Le vecteur n(a) est normal à la nappe au point paramétré F(a).
  • S’il existe, le plan tangent T_{m_0} \Sigma, avec m_0 = F(a) est lui même une nappe paramétrée par

     p(\alpha, \beta)= m_0 + \alpha \partial _u F(a)+ \beta \partial_v F(a)

  • Cette paramétrisation du plan tangent dans l’espace donne en projection sur les axes, trois équations à deux paramètres, l’élimination des paramètres conduit à une équation cartésienne du plan tangent, que l’on obtient plus simplement à l’aide du produit scalaire, et donc du produit mixte :

    < \overrightarrow {m_0 p}, n(a)>= [\overrightarrow {m_0 p},\partial _u F(a),\partial _u F(a)]=0

énoncé La figure ci-dessous représente la surface de Whithey, paramétrée par F(u,v)=(uv,u,v^2)
  • Chercher les points doubles, et les reconnaitre sur la figure.
  • Donner l’équation cartésienne des plans tangents en m=F(0,1) whitney.jpg