Exemples de différentielles - epiphys

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Exemples de différentielles

Description :

Calculs de différentielles.

Intention pédagogique :

Savoir obtenir des différentielles en utilisant les formules intrinsèques donnant la différentielle d’une composée, d’un produit, d’un quotient, etc.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé EXERCICE 1
Calculer la différentielle en tout point a \neq  0 du champ de vecteurs défini sur  \mathbb{R} ^{n} \backslash   \left  \{  0 \right  \}  par X\left( v\right) ={{\frac{v}{ \left {\|v\|^{2}}}},  \left {\|} {} \right {\|} étant la norme euclidienne. Quelle est la nature géométrique de d_{a}X ?

énoncé

EXERCICE 2
Pour le pendule ponctuel, le paramètre déterminant la position est (par exemple) l’angle q avec la verticale descendante. p={{\frac{dq}{dt}}} est la vitesse angulaire, et l’équation du mouvement (en supposant la masse égale à 1) est q^{ '   '  }=- \sin  q, que l’on met sous la forme d’une équation du premier ordre dans  \mathbb{R} ^{2}

 \left ( q^{ '  },p^{ '  } \right ) = \left ( p,- \sin  q \right )  \textrm{.}

On pose H\left( q,p\right) ={{\frac{p^{2}}{2}}}- \cos  q (quelle est la signification physique de H ?). En dérivant la fonction composée t\longmapsto H \left ( q\left( t\right) ,p\left( t\right)  \right ) , prouver que chaque trajectoire est contenue dans un ensemble de niveau de H, c’est à dire H\left( q,p\right) =c, la constante c étant déterminée par les conditions initiales q\left( 0\right) , p\left( 0\right) .


énoncé

EXERCICE 3
Une fonction f \in  C^{1} \left (  \mathbb{R} ^{n}, \mathbb{R}  \right ) est homogène (de degré  \alpha  ) s’il existe un réel  \alpha  tel que

 \forall   \left ( v,t \right )  \in   \mathbb{R} ^{n} \times   \mathbb{R} , \    \    \   f \left (tv \right ) =t^{ \alpha  }f\left( v\right)

  1. Démontrer la relation d’Euler :

     \sum_{i=1}^{n}v_{i} \partial  _{i}f\left( v\right) = \alpha  f\left( v\right)  \textrm{.}


    Indication : comparer les dérivées des fonctions  t  \rightarrow  f \left ( tv \right ) et  t  \longmapsto t^{ \alpha  }f\left( v\right) .
  2. Application 1 : Si f est une forme quadratique sur  \mathbb{R} ^{n}, vérifier qu’elle est homogène de degré 2, et que df\left( v\right) \left( v\right) =2f\left( v\right) .
  3. Application 2 : f\left( x,y\right) =Arc \sin   \sqrt[{}]{{{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}} (commencer par vérifier que f est C^{1} sur un ouvert à préciser, sans calculer de dérivées partielles).